第3章 刚体力学基础 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 12:35:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

??36mv0

(16M?27m)l254m2v0?cos[1?]

(2M?3m)(16M?27m)gl?1

?max(2)将子弹和细杆视为一个系统,则系统受的外力为Mg,mg,N横,N竖,如图,设子弹打在距轴x处,根据动量定理

?N

横dt?mv?Mvc?mv0

?mx??Ml??mv0 2 (3)

系统对O轴角动量守恒,有

xmv0?xmv?J?

12Ml? 3122 ?(xm?Ml)?

3 ?xm??2因而

??xmv0 122xm?Ml3 (4)

将(4)式代入(3)式

?N横dt?(mx?1ML)?2xmv0?mv0

1x2m?Ml23当N横?0时,则

(mx?1ML)?2xmv0?mv0?0

1x2m?Ml23解此方程得

x?

2l 3此即打击中心的位置。

说明 子弹和细杆组成的系统受到外界对细杆转轴的作用力,故系统动量不守恒,这一

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点需特别注意,但由于该作用力通过转轴,不产生力矩,系统角动量守恒,并且因该力通过转轴,其力矩的功(实际上也就是力的功)为零,系统机械能守恒,综合角动量守恒,机械能守恒求解本题。另外,打击中心即为使杆在轴处沿打击方向横向力为零时的打击点。

3-4 一质量为m的子弹,穿过与均匀细杆连接的物体后,速度由v减至

v,设杆可绕2过O点的固定轴在竖直平面内转动,杆长为l,杆与物体的质量均为M,如图,开始时,杆与物体静止于铅垂位置,物体的大小可以忽略不计,子弹与物体作用过程极短,试求,欲使物体与杆可以在竖直平面内完成圆周运动,子弹的速度不能小于多少?

分析 子弹、物体系统对O轴角动量守恒,物体绕O轴转动机械能守恒,物体与杆恰能完成圆周运动的条件是其转到垂直位置时的动能为零,由此求解本题。

解 假定子弹穿过物体后,物体与杆的角速度为?,物体与杆转动过程中,由机械能守恒及物体与杆恰能完成圆周运动的条件,有

11ll(Ml2?Ml2)?2?Mg?Mg?2l?Mg(l?) 2322解得

??9g 2l子弹穿过物体,子弹、杆、物体组成系统对O轴角动量守恒,因此

1lmvl?(Ml2?Ml2)??mv?

32解得

8Ml32M2gl v???23mm所以

32M2gl v?m2 说明 本题综合运用角动量守恒和机械能守恒求解,其关键在于分析守恒条件,子弹和

细杆组成的系统在细杆转轴处受外力作用,但此力力矩为零,因此其力矩的功也为零,因而角动量、机械能守恒。

3-5 如图,有一长度为l,质量为m1的均匀细杆静止水平放在摩擦系数为?的水平桌

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面上,它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另一质量为m2水平运动的小滑块从侧面沿垂直于杆的方向与杆的另一端A相碰撞,并被反向弹回,碰撞时间极短。已知小滑块与细杆碰撞前后的速率分别为v1和v2,求(1)碰撞后杆绕O轴转动的角速度;(2)碰撞后从杆开始转动到停止转动的过程中所需的时间。

分析 滑块与细杆碰撞角动量守恒,由此求细杆转动的?,此后,细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零,由摩擦力矩,根据角动量定理即可求出时间t。

解 (1)以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短,杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩,故可认为合外力矩为零,因此系统的角动量守恒,即

1m2v1l??m2v2l?m1l2?

3 (1)

解得

??3m2(v1?v2)

m1l

(2)碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为

l

Mf????gdm?x???0?m1gl1xdx???m1gl

2 (2)

由角动量定理得

12Mdt?0?ml? f1?30t (3)

由式(1)、(2)、(3)联立解得

t?2m2v1?v2

?m1g 说明 本题需注意两点:(1)在处理碰撞问题时,通常因碰撞时间极短,摩擦力矩远

小于碰撞产生的冲力矩,角动量守恒;(2)棒各处摩擦力矩不同,首先要写出微元力矩,即??gdmx,通过积分求摩擦力矩。

3-6 如图,两个半径分别为R1和R2的圆柱体,转动惯量分别为J1和J2,分别可绕其轴转动。最初大圆柱的角速度为?0,小圆柱不转动,现将小圆柱向右平移,碰到大圆柱后由于摩擦力的作用而被带着转动,最后两圆柱无滑动地各自以恒定角速度沿相反方向转动。

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试求小圆柱和大圆柱的最终角速度。

分析 大圆柱与小圆柱接触后,由于摩擦力矩作用,大圆柱转速减小,小圆柱转速变大,最后稳定。对两圆柱分别应用角动量定理,由两圆柱摩擦力相等f1?f2,稳定后接触点线速度相等?1R1??2R2,即可求出稳定后两圆柱角速度。

解 两圆柱体从接触到稳定只受摩擦力,其一对 摩擦力f1?f2,对两圆柱体分别应用角动量定理

??R1f1dt?J1?1?J1?0 ??R2f2dt??J2?2

(1) (2)

注意到f1?f2。 由(1)、(2)式可得

R1?(J1?1?J1?0) ?R2J2?2 (3)

两圆柱稳定后,其接触点线速度相等,即

?1R1??2R2

(4)

由(3)、(4)式可解得

2J1R1R2J1R2小圆柱最终角速度:?2? ?0,大圆柱最终角速度:?1??0。2222J1R2?J2R1J1R2?J2R1 说明 两柱体从开始接触到稳定过程中,均受到外力矩作用,这一外力矩就是摩擦力矩,

因此角动量不守恒,只能对两柱体分别使用角动量定理求解。两柱体达到稳定后,两柱体不再有相对滑动。因此,接触点处线速度相同,故可得(4)式。

3-7 如图所示,长为l的均匀细杆水平地放置在桌面上,质心离桌边缘的距离为a,从

静止开始下落。已知杆与桌边缘之间的摩擦系数为?。试求:杆开始滑动时的临界角。

分析 细杆滑动前以A点为轴在重力矩作用下转动,细杆质心做以A点为圆心的圆周运动,根据转动定律及质心运动定律即可求出A点摩擦力f与?角关系,细杆开始滑动的临界条件为f??N。

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解 无滑动时,杆绕过A点的固定轴做定轴转动,由转动定律有

mgacos??JA?

(1)

由平行轴定理求细杆绕A点转动时的转动惯量

JA?JC?ma2?1ml2?ma2 12 (2)

无滑动时,杆绕A点转动,杆上各点做圆周运动,对质心C,由牛顿运动定律得

f?mgsin??ma?2

mgcos??N?ma?

(3) (4)

杆绕A点转动,只有重力作功,机械能守恒,有 得

mgasin??1JA?2 2?2?2mgasin?

JA (5)

将式(5)代入式(3),并利用式(2),得

24mga2sin?f?mgsin??2 2l?12a (6)

将式(1)代入式(4),并利用式(2),得

12mga2cos?N?mgcos??2

l?12a2 (7)

开始滑动的临界条件为

f??N

(8)

因此,由式(6)、(7)、(8),有

24mga2sin?C12mga2?cos?Cmgsin?C??mg?cos?C?

l2?12a2l2?12a2式中?C为临界角,整理可得

tan?C??l2l2?36a2

说明 在一般涉及转轴对刚体的作用力的问题中,除了要应用转动定律外,一般还要用

到质心运动定理,如本题。

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