内容发布更新时间 : 2024/5/29 3:03:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
3-8 一长为2L的均匀薄窄平板，一端靠在摩擦略去不计的垂直墙壁上，另一端放在摩擦亦略去不计的水平地板上。开始时，木板静止并与地板成角?0，当松开木板后，木板下滑，试求木板脱离墙壁时，木板与地面间的夹角?为多大？
分析 木板运动可看成木板质心平动和绕质心的转动，木板下滑过程中，墙壁对其作用
力N1，N2不作功，机械能守恒，由此可得木板绕质心转动的角速度?与?角关系：
???(?)。对木板由质心运动定律结合???(?)可得N1或ax与?的关系。木板脱离墙
壁的条件为N1?0或ax?0，由此求得木板脱离墙壁时与地面的夹角?。
解 取板初始位置时的质心为坐标原点，建立坐标如图。对木板，由质心运动定理有
N1?max
要使木板脱离墙壁，则 即
N1?0
ax?0
木板在脱离墙壁前受到三个力作用；墙壁给板的作用力N1，地板给板的作用力N2和木板重力P?mg，如图所示。在任一时刻板质心的位置坐标为
x?L(cos??cos?0) y?L(sin?0?sin?)
(1) (2)
因此任一时刻板的质心速度vx、vy分别为
vx?dxd???Lsin???L?sin? dtdtdyvy???L?cos?
dt
(3) (4)
质心加速度在Ox轴上的分量为
ax?
dvxd?d???L?cos??Lsin? dtdtdt ??L?cos??Lsin?2
d? dt (5)
可取板和地球为研究系统，在板下滑过程中，除保守内力外，其余力均不作功，故系统的机
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械能守恒，有
mgy?1122m(vx?vy)?J?2 22其中
J?1m(2L)2 12112m?2L2?m?2L2?m?2L2 263将式（3）和式（4）代入上式，得
mgy?解出
??3gy 2L2将式（2）代入上式，得 故
??3g(sin?0?sin?)
2L (6)
d?3g??cos? dt4L (7)
将式（6）和式（7）代入式（5），有
ax??L ??3g(sin?0?sin?)3gcos??Lsin?(?cos?)
2L4L
g9sin?0cos??gsin?cos? 24当木板脱离墙壁时，ax?0，即
3g9sin?0cos??gsin?cos? 24sin??2sin?0 323于是
可得木板脱离墙壁时，木板与地面间夹角为
??arcsin(sin?0)
说明 应用机械能守恒定律时，需注意的是，木板的动能包括质心运动动能和绕质心的
转动动能。另外，也应注意木板脱离墙壁的条件N1?0或ax?0。
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3-9 将质量为m的均匀金属丝弯成一半径为R的圆环，其上套有一质量等于
1m的小2珠，小珠可在此圆环上无摩擦地运动，这一系统可绕固定在地面上的竖直轴转动，如图所示。
开始时，小珠（可看作质点）位于圆环的顶部A处，系统绕轴旋转的角速度为?0，求：当小珠滑到与环心同一水平的B处及环的底部C处时，环的角速度值，以及小珠相对环和相对地面的速度值。
分析 小珠与圆环组成系统绕AC轴转动角动量守恒，由此可解得小珠滑到B、C点
时圆环的转动角速度?1、?2。同时，系统机械能守恒可解得小珠在B、C点相对圆环的速度v1、v2。小珠相对地面速度为两速度合成。
解 取圆环、小珠为系统，在小珠下落过程中，系统所受外力对AC轴的力矩为零，故系统对AC轴角动量守恒，设小珠落至B、C处时环的角速度分别为?1、?2，则有
J?0?(J?1mR2)?1 2
(1) (2)
2J?0?J?2
式中J为圆环对AC轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为mR，根据垂直轴定理
J?J?mR2,J?1mR2 2 (3)
由（1）~（3）式解得
?1??0
12
(4)
(5)
?2??0
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至B、C处时，相对于环的速度分别为v1、v2，则有
11111112J?0?mgR?J?12?(m)R2?12?(m)v12 222222211111222J?0?mg(2R)?J?2?(m)v2 22222
(6) (7)
由（4）~（7）式，解得小珠在B、C处相对于环的速度分别为
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v1?122?0R?2gR 2
(8)
v2?4gR
(9)
小珠相对于环作圆周运动，所以v1的方向与AC轴平行向下，v2的方向与AC轴垂直向左。小珠落到B处时，环上B处相对于地面速度为?1R，方向垂直纸面向里。故小珠在B处相对于地面的速度大小为
vB?v12??12R2
(10)
把（4）、（8）式代入（10）式可得
vB?322?0R?2gR 4环上C处相对于地面的速度恒为零，所以小珠在C处相对于地面的速度，即为相对于环的速度，故有
vC?v2?4gR
说明 对于本题要注意，这是一个包含有刚体和质点的系统。实际上对所有的质点系，
只要外力对某轴的力矩之和为零，则质点系关于该轴角动量守恒，只要无非保守力作功，系统机械能守恒。
3-10 如图，一实心圆柱体在一倾角为?的斜面上作无滑动滚动。设摩擦系数为?，求使该实心圆柱体只滚不滑时，?的取值范围。如果?和?可调节，能否使圆柱体在无滑下滚过程中质心保持匀速运动。
分析 圆柱体无滑下滚过程中，根据质心运动定律及绕质心轴转动定律，结合纯滚条件纯滚时，摩擦力f??N，由此可限定?角取值范围。aC??r可解得摩擦力f与?角关系。
由上也可得质心aC与?关系并由此可判断无滑下滚过程中质心的运动状态。
解 设实心圆柱体的半径为r，其对中心轴的转动惯量JC?质心沿斜面平动（以沿斜面向下为正）有
12mr，其受力如图。 2mgsin??f?maC
(1)
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在垂直斜面方向有
N?mgcos??0
(2)
绕质心的转动有
fr?JC?
只滚不滑的条件是
aC??r
由（1）、（2）、（3）、（4）式可得
??rJmgsin?
C?mr2
f?JCJ2mgsin? C?mr欲使物体只滚不滑，则必须有
f??N??mgcos?
所以
JCmgsin?J2??mgcos? C?mr
tg???JC?mr2J C即
?arctg(?JC?mr2?J)
C将JC?12mr2代入，即得
??arctg3?
要保证只滚不滑，则由（6）式知
f?JCJ2mgsin??1mgsin? C?mr3由（7）式知
??JCJtg??1 C?mr23tg?
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(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)