内容发布更新时间 : 2024/5/4 14:56:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

微分方法

——导数、偏导数、微分、全微分、方向导数的求法。 1、用定义：f'(x)?lim?x?0f(x??x)?f(x)；

?x f'(x)?lim?x?xf(x)?f(x0) （=0 ?）;

x?x0 dy?f'(x)dx （还有其它导数形式，利用极限求法） 2、基本初等函数求导公式（微分公式）-----熟记、准确应用 几个生僻，易混淆的公式，在理解上下功夫。

——搞清楚求导公式获得的过程、逻辑关系可帮助理解、记忆公式1 3、运算法则（四则、复合、反函数 一阶微分函数形式不变） 4、隐函数求导（方法、公式）： F(x,y)?0,F?y?0y?y (，导数求法，求导公式，确定xx?x?y?， 一阶导数，高阶导数，导数值的计算

F(x,y,z)?0,Fz?0?z?z(x,y)，求偏导数公式，确定x?x?y,z? 推广到一般

Fxj?xi?? 。 F(x1,x2,?,xn)?0,Fxi?0?xi?xi(其余n?1个变量)，且?xjFxi方程组确定隐函数组的条件即隐函数求导公式或方法

???,??F,G??F?x,y,z??0,?y?y?x J?，且 ?0?????y,z????G?x,y,z??0.?z?z?x?,dy1??F,G?dz1??F,G? ， ????dxJ??x,z?dxJ??y,x?公式要记忆，会用，直接求导，解方程组的方法也要掌握。

????F,G??F?x,y,u,v??0,?u?u?x,y?, J? ?0????u,v?????G?x,y,u,v??0.?v?v?x,y?,掌握直接求导，解方程组的方法，隐函数偏导数公式也有记忆规律：

?u1??F,G??v1??F,G?， ??????J???,v???J??u,?? 5、参数方程确定函数的导数：高阶导数求法及易犯错误

dy?x?x(t)dyd2ydy1dt ? ?，2?()t'?，y?y(x)

dxdxdxxt'dx?y?y(t)dt6、取对数求导法，幂指形函数求导

y?u?x?v?x??ev?x?lnu?x?，

u??x??dyv?x????x?lnu?x??v?x??u?x??v ???dxu?x???7、变积分限函数的导数：

du(x)f(t)dt?f[u(x)]u'(x)?f[v(x)]v'(x) ?v(x)dx8、高阶导数：莱莱布尼兹公示的记忆和应用 运算法则：[u?v](n)?u(n)?v(n)； [ku](n)?ku(n)； [uv](n)i(n?i)i0(n)1(n?1)n?1'n??Cnuv?Cnuv?Cnuv'?......?Cnuv?Cnuv(n) i?0ni? 其中，Cnn(n?1)?......?(n?i?1)n!?

i!i!(n?i)!*常见的几个n阶导数公式：

(a)x(n)?1? ??a(lna)，??ax?b?xn(n)(?1)n?1an(n?1)!(?1)nann!(n)， [ln(ax?b)]??nn?1(ax?b)(ax?b)[sin(ax?b)](n)?ansin(ax?b?n?n?) ， [cos(ax?b)](n)?ancos(ax?b?) 22典型题目

1、设对，有f(x?1)?f2(x)，且f(0)?f'(0)?1，求f'(1)。

2、【2010（二）4’】设 f(x)??ex?1??e2x?2???enx?n?，n为正整数，求f?(0)

e2xdy3、【2002（四）4’】设y?arctane?ln2x，求。

dxx?1e?1x4、【2013（二）4’】设函数f?x???y?0处的导数

x?11?etdt，则y?f?x?的反函数x?f?1?y?在

dx|y?0? dy??lnx,5、【2012（二）9’】设f?x?????2x?1,x?1,dy y?f?f??x，求?dxx?1,

x?e6、【2005（二）4’】设y?(1?sinx)x，求dyx??。 7、【1995（四）4’】f(x)?1?2x，求f(n)(x)。 2x?38、【2010（二）4’】 设y?ln?1?2x?，求y?n??0?

9、【2005（二）5’】设f(x)?x2ln(1?x)，求f(n)(0)? （n?3）。10、【1999（二）3’】y?y(x)由方程ln(x2?y)?x3y?sinx确定，求

d2y|x?0 11、【2012（二）9’】 设y?y(x)由x?y?1?e确定，求 dx22ydy。 dxx?012、【2012（二）9’】 可导函数y?y(x)由方程?求

dy|x?0 dxx?y0e?tdt??xsint2dt确定，

02x13、【1995（三）5’】设y?y(x)由方程xef(y)?ey确定，其中具有二阶导数，且

d2yf'?1，求2。 ——求二阶函数表达式！

dx?x?1?2t2d2y?u1?2lnte14、【2006（二）9’】设y?y(x)由? （t>1）确定，求2y?dudx?1u???x?et,d2y?| 15、【2010（一）4’】 设? ，求 t2t?02dxy??ln?1?u?du.??1。

x?9?x?sint,d2y16、【2013（一）4’】设?，求2

dxt???y?tsint?cost4?x?arctantdy17、【1997（二）5’】 设y?y(x)由? 确定，求。 2t2y?ty?e?5dx?t?0?18、 设F?x??limt2?ft?????x??t??x?，其中f?x?二阶可导，求F??x?. ?fxsin????t??19、设f?x?在???,???内满足2f?1?x??f?1?x??ex，试求f??x?