内容发布更新时间 : 2024/12/27 18:37:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高中数学竞赛辅导（证共圆问题）

一、利用圆的定义（找到某一点，证明四点到这一点的距离相等，则此四点共圆） 1．K为△ABC内任一点，在△ABC内作三条直线，AL、BM、CN，使∠BAL=∠CAK, ∠ABM=∠CBK, ∠BCN=∠ACK,且AL=AK，BM=BK，CN=CK，求证：K、L、M、N四点共圆。

2．给定锐角三角形△ABC，在BC边上取点A1,A2（A2位于A1与C之间），在AC边上取点B1,B2（B2位于B1与A之间），在AB边上取点C1,C2（C2位于C1与B之间），使得∠AA1A2??AA2A1??BB1B2??BB2B1??CC1C2??CC2C1，直线AA1、BB1和CC1可构成一个三角形，直线AA2、BB2和CC2可构成另一个三角形，直线AA1、BB1和CC1，证明：这两个三角形的六个顶点共圆。

1

3．设A1A2A3A4为圆的内接四边形，H1,H2,H3,H4分别为A2A3A4,A3A4A1,A4A1A2,A1A2A3的垂心，求证：H1,H2,H3,H4四点共圆。

二、利用角的关系

（1）证明四点为顶点的四边形的内对角互补，则四点共圆；（2）证明四点为顶点的丝包线的一外角等于其内对角，则四点共圆；（3）线段同旁张等角，则四点共圆。

4．凸四边形ABCD中，AC?BD，作垂足E关于AB、BC、CD、DA的对称点P、Q、R、S，求证：P、Q、R、S四点共圆。

5．已知O是⊙O1、⊙O2、⊙O3的公共点，点A、B、C分别是⊙O2与⊙O3、⊙O1与⊙O3、⊙O1与⊙O2的交点，若A、B、C三点共线，求证：O、O1、O2、O3四点共圆。

2

6．已知在凸五边形ABCDE中，?BAE?3?,BC?CD?DE,?BCD??CDE?1800?2?，求证：A、B、C、D、E五点共圆。

7．引三条直线分别平行于三角形的三边，每条直线与所平行的边之间的距离等于该边的长度，同时，对于每条边、平行于它的直线和高边所对顶点位于该边的两侧，证明：三角形各边的延长线与所引的三条直线的交点在同一个圆周上。

三、利用相交弦定理的逆定理和割线定理的逆定理

8．在锐角△ABC中，以BC为直径作圆与BC边上的高AD及其延长线交于M、N，以AB为直径作圆与AB边上的高CE及其延长线交于P、Q，求证：M、N、P、Q四点共圆。

3

9．△ABC的内切圆分别切三边BC、CA、AB于点D、E、F，点X是△ABC的一个内点，△XBC的内切圆也在点D与BC边相切，并与CX、XB分别相切于点Y、Z，证明：EFZY是圆内接四边形。

四、利用托勒密的逆定理（A、B、C、D四点共圆?AB?CD+BC?DA=AC?BD）

10．在四边形ABCF中，BF=AF+FC，点D在BC上，点E在BA的延长线上，且BD=BE=AC，AF?CD?FC?AE，求证：四边形ABCF有外接圆。

五、证多圆过定点（多圆或动圆过定点问题，常用的方法有两种，其一，探索定点，化归为证四点共圆；其二，作出符合题设的点，化归为证点的唯一性）

11．P为△ABC的边AB上任一点，作PQ∥AC交BC于Q，作PR∥BC交AC于R，证明：一切过点C、Q、R的圆经过一定点。

4