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2016-2017学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷（理科）

一、选择

1．（3分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A． B．

C． D．

2．（3分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程为（ ） A．2x﹣y+2=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．2x+y+2=0

D．2x+y﹣2=0

3．（3分）直线kx﹣y+1=3k，当实数k的取值变化时，所有直线都通过定点（ ） A．（3，1） B．（2，1） C．（1，1） D．（0，1） 4．（3分）“椭圆的离心率为

”是“椭圆的方程为

”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（3分）经过点（10，﹣4），且倾斜角的余弦值为A．y=

（x﹣10）+4 B．y=

（x﹣10）+4

表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范（x﹣10）﹣4 C．y=

的直线方程是（ ）

（x﹣10）﹣4

D．y=

6．（3分）若不等式组围是（ ）

A．（﹣∞，5） B．[7，+∞） C．[5，7） D．（﹣∞，5）∪[7，+∞） 7．（3分）设 F1、F2为椭圆面积最大时，A．0

B．1

C．2

的左、右焦点，动点P 在椭圆上，当△PF1F2

的值等于（ ） D．4

上运动，若存在过P 的直线 l与椭圆C 交

8．（3分）点P在椭圆C：

于另一点A，且直线 l与直线x=4交于B点，满足|P A|=|P B|或|P A|=|AB|，则称点P 为“H 点”．那么下列结论正确的是（ ）

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A．椭圆C 上的所有点都是“H 点” B．椭圆C 上仅有有限个点是“H 点” C．椭圆C 上的所有点都不是“H 点”

D．椭圆C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点” 二、填空

9．（3分）设不等式组

所表示的平面区域为S，则S的面积为 ；

若A、B为S内的两个点，则|AB|的最大值为 ．

10．（3分）已知△ABC 的三边所在直线的方程为lAB：x+y﹣8=0，l BC：x﹣2y﹣5=0，l AC：3x﹣y=0，则△ABC 的外接圆圆心坐标为 ．

11．（3分）已知过点A（1，0 ）且斜率为k的直线 l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）

2

=1交于M，N 两个不同点，则k的取值范围是 ．

的两个焦点，点F1、F2到直线

12．（3分）设F1、F2为椭圆

的距离分别为d1、d2，则d1?d2的值为 ．

13．（3分）已知l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，﹣2）两点的两条平行直线，当l1，l2之间的距离最大时，直线l1的方程是 ． 14．（3分）已知椭圆

（a＞b＞0），M，N 是椭圆上关于原点对称的两

点，P 是椭圆上任意一点，且直线P M、P N 的斜率分别为k1、k2，若|k1 k 2|=，则椭圆的离心率为 ． 三、解答

15．已知函数f （x）=2sin x（cos x﹣sin x）． （1）求函数f （x）的单调递减区间．

（2）当0＜x＜π时，求f （x）的最大值及相应的x值．

16．已知公比为q的等比数列{an} （n∈N?）中，a2=2，前三项之和为7． （1）求数列{an}的通项公式．

（2）若0＜q＜1，设数列{bn}满足bn=a1?a2???an，n∈N?，求使0＜bn＜1成立

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的n的最小值．

17．已知△ABC 的顶点A（0，1），A B边上的中线C D所在直线方程为2x﹣2y﹣1=0，AC 边上的高BH 所在直线方程为y=0． （1）求△ABC 的顶点B、C 的坐标．

（2）若圆M 经过点A、B，且直线y=﹣4与圆M 相切，求圆心M 的坐标． 18．已知函数f （x）=ax3+x2+5．

（1）当a=﹣3时，求函数f （x）的单调区间和极值点．

（2）若函数f （x）在区间（﹣2，0）上至少有一个极值点，求实数a的取值范围． 19．椭圆斜率为

（a＞b＞0），点A为左顶点，点B为上顶点，直线AB的

，又直线y=k（x﹣1）经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M，N．

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）将|MN|表示为k的函数；

（Ⅲ）线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，又点Q（1，0），求证：定值．

20．已知集合M 是非空数集，且满足三个条件： ①?x∈M，?y∈M，恒有x﹣y∈M； ②?x∈M （x≠0），恒有∈M； ③1∈M．

（1）求证：?x∈M，?y∈M，恒有x+y∈M． （2）求证：当x≠0且x≠﹣1时，若x∈M，则必有（3）求证：?x∈M，?y∈M，恒有xy∈M．

∈M

为

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