内容发布更新时间 : 2024/10/13 11:26:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二章

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X?(X1,X2,联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X?(X1,X2,概率分布，其概率密度函数的维数小于p。

2.2设二维随机向量(X1解：设(X1Xp)?的

Xp)?的子向量的

X2)?服从二元正态分布，写出其联合分布。

2???12?1?2??，协方差矩阵为?，则其联2???21?2?X2)?的均值向量为μ???1合分布密度函数为

2?1???1?12?f(x)????2??2????21?2?2?1/2?12?????1?12?1?exp??(x?μ)??(x?μ)?。 2?2???212?????

2.3已知随机向量(X1X2)?的联合密度函数为

f(x1,x2)?2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]

(b?a)2(d?c)2其中a?x1?b，c?x2?d。求

（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量X1和X2的协方差和相关系数； （3）判断X1和X2是否相互独立。

（1）解：随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；

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fx1(x1)??dc2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]dx 22(b?a)(d?c)d2(d?c)(x1?a)x2 ?(b?a)2(d?c)22(d?c)(x1?a)x2?(b?a)2(d?c)2?2(d?c)(x1?a)x2(b?a)2(d?c)2cd??dc2[(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]dx2 22(b?a)(d?c)2[(b?a)t?2(x1?a)t]dt

(b?a)2(d?c)222d?ccd???d?c0c[(b?a)t?2(x1?a)t](b?a)2(d?c)20?1 b?a所以

b?a?b?a?由于X1服从均匀分布，则均值为，方差为。

212?1?同理，由于X2服从均匀分布fx2(x2)??d?c??0x1??c,d?其它，则均值为

2d?c，2?d?c?方差为

122。

（2）解：随机变量X1和X2的协方差和相关系数；

cov(x1,x2)??

db

ca?b??d?c?2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]?x?x?dx1dx21??2?22?a?2??2?(b?a)(d?c)??(c?d)(b?a)

36??

cov(x1,x2)?x?x121? 3（3）解：判断X1和X2是否相互独立。

X1和X2由于f(x1,x2)?fx1(x1)fx2(x2)，所以不独立。

2.4设X?(X1,X2,Xp)?服从正态分布，已知其协方差矩阵?为对角阵，证明其分量是相

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互独立的随机变量。

解： 因为X?(X1,X2,pXp)?的密度函数为

?1??1/2?1??1?f(x1,...,xp)??Σexp?(x?μ)Σ(x?μ)?? ??2??2????12?2?2?又由于Σ?????2Σ??12?22 ?p??? ??2??p??1??2?1??Σ?1???????12?2?????? ??1?2??p?则f(x1,...,xp)

?1?22??Σ???21??2??p??1???2??1???1?2?1/2?pexp??(x?μ)?Σ?1???2?????????12?2??????????(x?μ)??????1??2???p??

?1??????1?2?2??pp?p??1222?1(xp??p)??1(x1??1)1(x2??3)?exp????...?? 2222?22?p?2?1????(xi??i)2?1??exp????f(x1)...f(xp) 22?i?1?i2?i??则其分量是相互独立。

2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为

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