内容发布更新时间 : 2024/4/19 16:00:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第02章 单自由度系统的振动

2.1 一根抗弯刚度EI=36?107Ncm2的简支架，两支承间跨度l1=2m，一端伸臂l2=1m，略去梁的分布质量，试求悬臂端处重为Q=2548 N的重物的自由振动频率。

2Ql2(l1?l2)3EJgkg???11.77 1/s】 【提示：k?2，?st?，?n?Q?st3EIl2(l1?l2)A

A

B

Q

k

2m Q

B k

1m l1 l2 题 2-1 图

题 2-2 图

2.2 梁AB其抗弯刚度EI=9?107Ncm2，A端与B端由弹簧支承，弹簧刚性系数均为k=52.92 kN/m，如图所示。略去梁的分布质量，试求位于B端点左边1米处，重为Q=4900 N的物块自由振动的周期。

【解法1：通过计算静变形求解。 A，B弹簧受力为

2QQ2QQ5Q和，压缩量为和，则由弹簧引起的静变形为?1?；利用材料

33k33k9kQ?1?2(32?22?12)4Q?力学挠度公式求出梁变形引起的静变形?2?。

6EI?19EI周期为：T?2??n?2??1??2g?1.08s。

解法2：通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。

A，B弹簧相对Q处的等效刚度为（产生单位变形需要的力，利用解法1中计算的静变形结果）

k1?9k9EI111；利用材料力学挠度公式求出梁相对Q处的等效刚度k2?；总等效刚度为：??。

keqk1k2542?周期为T??n?2?Q】 ?1.08s。

gkeq2.4 一均质刚杆重为P，长度为L。A处为光滑铰接，在C处由刚性系数为k的弹簧使杆在水平位置时平衡。弹簧质量不计，求杆在竖直面内旋转振动时的周期。

【解：利用定轴转动微分方程：

1P2ll???P?k(?a??st)a，k?sta?P， l?3g22a k 得：

1P2???k?a2?0， l?3gA C l B Pl2/3g2?lP】 T??2??2?nkaa3gk2?

题 2-4 图

2.8 一个重为98 N的物体，由刚性系数为k=9.8 kN/m的弹簧支承着（简化为标准m-k-c振动系统），在速度为1 cm/s时其阻力为0.98 N。求10周振幅减小比为多少？

k9800g0.98??31.31/s， 【解：c??98Ns/m，?n?m980.01XXX112??c???0.157，??ln1?ln1?，1?e2m?nnXn?110X11X111??220??1??2?20416】

2.10 题2.10图所示振动系统，物块质量为25 kg，弹簧刚度为2 N/mm，E＝210 GPa，悬臂梁长250 mm，梁横截面宽20 mm，高3 mm，求固有频率。梁的分布质量不计。

bh34【解：梁的参数I??4.5?10?11m。

12解法1：通过计算静变形求解。

题2.10图

mgmgl3g????0.258m，固有频率?n??6.171/s。

?k3EI解法2：通过通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。 keq1111l3?6.171/s。????，固有频率?n?】 mkeqk1k2k3EI2.13 求题2.13图所示系统的固有频率。

【提示：利用定轴转动微分方程或能量法。注意重力的影响。 ka2?mglka2?mgl?n1?，?n2?，?n3?ml2ml2ka2】 ml2题2.13图

2.14 求题2.14图所示系统的固有频率。 【解法1：通过计算静变形求解。

mg?k2?2，mgl?k1?1a

lk1k2a2g。 ??st??2??1，固有频率?n??stm(k1a2?k2l2)a解法2：利用牛顿定律。 ???mg?k2(x2??2)??k2x2， mx而：k1(x1??1)a?k2(x2??2)l

利用mg?k2?2，mgl?k1?1a得k1x1a?k2x2l

题2.14图

k1a2k2allx，x2?又x?x2?x1，求出：x1?x

k1a2?k2l2k1a2?k2l2akeqk1k2a2k1k2a2???x?0，固有频率?n?则振动方程为：mx1/s。 ?k1a2?k2l2meqm(k1a2?k2l2)解法3：利用机械能守恒。

取静平衡位置为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，

12? T?mx211V??mgx?k1(x1??1)2?k2(x2??2)2

22利用前面求出的x1,x2,?1,?2，代入后利用k1k2a2???mxx?0，……】

k1a2?k2l2d(T?V)?0得到振动方程为： dt2.15 求题2.15图所示系统微幅振动的微分方程（m2视为均质圆盘）。

2(k1?k2)x?x?0 答:??2m1?m2题2.15图

题2.16图

2.16 求题2.16图所示系统振动的微分方程和固有频率（不计杆的质量，c为黏滞阻尼）。

22bca?????k??0，??1答:?4ma2l2k?b4c2 ?d2222mlmlml2.17 标准m-k-c振动系统，弹簧刚度为32.14 kN/m，物块质量为150 kg。（1）求系统的临界阻尼系数；（2）该系统的阻尼系数为0.685 kNs/m时，问经过多少时间振幅减到10％；（3）衰减振动周期是多少。

【解：（1）?n?（2）??k?14.641/s，cc?2m?n?4391.4Ns/m mX112??c?0.156，??ln1?ln10??0.992

22m?nnXn?1n1??2?n＝2.285，t?nT?n2??n?0.981

（3）Td??n1??2?0.435】