内容发布更新时间 : 2024/10/25 0:28:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切

公式 》

第一课时

一、讲什么

1.教学内容

（1）概念原理：公式cos?x?y??cosxcosy?sinxsiny； （2）思想方法：消元、数形结合、坐标法 （3）核心素养：数学推理、数学建模

2.内容解析

本课时是三角函数中涉及多个角的三角函数值转化问题及解答策略的起始课。以本节课

为起点，学生将逐步掌握和角与差角系列公式，学会解决通过两个或多个已知角求未知角相关结论的各种问题，并直接为必修五中解三角形问题作基础。

在此之前，学生已经掌握了任意角的三角函数的相关概念及诱导公式，掌握了平面向量的相关概念，能进行平面向量的作图和运算；也知道面对三角函数值的求解问题时，需要使用将未知与已知通过转化联系在一起的策略，为本课时的学习提供了知识与方法的储备。

本课时在学习过程中，需要综合运用所学的知识与思想解决问题，要求学生有一定的推理与建模的能力。

二、为何讲

1. 教学目标

（1）识记公式cos?x?y??cosxcosy?sinxsiny，能运用公式求两个已知角的差的余弦值；

（2）能独立叙述公式的证明过程，知道向量法的优势，知道如何确定公式的形式； （3）经历和（差）角公式的背景问题的提出与确定问题模型过程，体验数学问题的产生、归纳、联系、初步形成解答策略的过程。 2.目标解析

实现教学目标（1），可以帮助学生掌握本课时要求的数学知识，并通过解决直接与之对应的问题，强化记忆与认知；实现教学目标（2），可以帮助学生体会在数学思想方法的指导下解决问题，并了解何时使用及为何使用这些思想方法；实现教学目标（3），可以帮助学生体验数学建模和数学推理，将解决数学问题升华到培养学生思维的层面上。

三、怎样讲

1.教学问题

（1）学生在遇到问题时可能难以将其迅速与学过的知识相联系，形成策略； （2）学生不太会归纳问题，找到问题间的想通点，形成问题模型； （3）学生不擅长在解决一个问题时运用不同数学分支的知识。

2.教学支持条件

学生自有教材、笔记本，数学实验室配有平板电脑及科大讯飞课堂交互系统。

3.教学过程设计

【问题1】在章头图中，给出了这样一个问题：

某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，如图所示，小山高BC约为30米，

D在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为d米，从点A观测电视发射塔的视角（?CAD）约为45°，求这座电视发射塔的高度。

【设计意图】本问题是教材中3.1节的起始问题，通过实际问题引出“能不能由45°和?的三角函数值求得tan?45????呢”和 “当?和?为任意角时，能不能用

xA45°αd C30B?，?的三角函数值把???或???的三角函数值表示出来呢？”两个数学问题，

从而开启本章的学习。

【师生活动】

（1）给定d?67.08米，此时tan??0.5，给出提示，要求学生简要回答该问题并拍

D

照上传。

如右图所示，若tan??0.5，则本问题是一个初中三角形的性质的问题，学生可以解答，解答思路如右图所示，?BAC对应?，?CAD等于45°，?BAD即为所求。如果有学生能给出解答，则可以直接根据学生拍照上传的答案进行展示；若没有学生给出解答，教师可展示右图作为提示，完成本问题的解答。

本问题不宜花时间超过三分钟，主要是设置一个“可解答”的对照，因此“可解答”这一特征需要点出。

C

A H B

（2）提问学生若d为其他数值时，根据已有的知识，是否能给出解答，可考虑发起投

票。

学生若没有学过本节，对于本问题的反馈可能是多种多样，部分学生会陷入迷茫，直言

无法给出解答；部分学生会将问题与诱导公式相联系，参考诱导公式的证明尝试作图寻找思路。经过短暂思考后，投票的结果预计大多数为“不能”，教师籍此示范确定问题模型的过程。注意叙述的语言尽量紧扣教材。

教师：本问题虽然条件和问题中既包含了线段长度和角的大小的条件，但根据第一问的

解答，用?BAC和?CAD的三角函数值求出?BAD的三角函数值才是突破问题的关键。那么，这里当d为其他数值时，我们还是要解决能不能由45°和?的三角函数值求得

tan?45????的问题；即使不能直接求得tan?45????的值，也应该问问自己，能不能先求

出正弦和余弦值，再来求出正切值。如果再把目光放得更长远一点，如果已知两个角?和?的三角函数值，我们会用它们把???或???的三角函数值表示出来，那么本问题就是可以给出解答的了。注意：红色底纹字部分，是本节课的核心思路，务必通过板书呈现。

借此思路，我们再来看另外一个类似的问题。

【问题2】某位同学在求解cos15?的时候提出了下列两种思路，请根据思路完成求解： ①构造一个含有15?的直角三角形来求解；

②在直角坐标系中构造15?的角，并利用第一章和第二章学过的知识求解. （提示：15??60??45??45??30?）

【设计意图】此问题承上启下，既与前面问题类似，突出“帮助学生归纳问题模型”的目标，又贴合公式cos?x?y??cosxcosy?sinxsiny。本问题将比较初中知识背景的思路和高中知识背景的思路，突出使用新知识时的优势。

【师生活动】

（1）针对不同情况的学生，建议本问题考虑两种不同的方式推送给学生。如果学生思维灵敏，可直接在课堂上推送给学生思考，否则可以事先将问题1（1）和问题2作为预习作业下发给学生完成。

学生在参考思路①解答时，会有较多不同的思路，例如

15° 1 6?2 23?3 23?1

6?2 23?1