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第三章 章末复习课

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[警示·易错提醒]

1．不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．

2．一元二次不等式的求解方法

(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．

当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．

3．二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域． (2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞

0(或＜0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B＞0时，①

Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝

0下方的区域．

4．求目标函数最优解的两种方法

(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；

(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．

5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点) (1)“一正”——各项为正数；

(2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到．

专题一 不等关系与不等式的基本性质

1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．

(1)若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d； (2)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－a.

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．

(1)若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd； (2)若a＞b＞0，0＜c＜d，则＞.

abcd3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：若a＞b＞0，则a＞b或a＞b. 1111

4．若ab＞0，a＞b，则＜；若ab＜0，a＞b，则＞. nnnnababa2b2

[例1] 已知a＞0，b＞0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．

baab?ab?解：因为?＋?－(a＋b)＝－b＋－a＝ ba?ba?

1?a2－b2b2－a222?1

＋＝(a－b)?－?＝ ba?ba?

2

2

2

2

a－b（a－b）2（a＋b）

(a－b)＝，

abab2

2

因为a＞0，b＞0，且a≠b， 所以(a－b)＞0，a＋b＞0，ab＞0，

2

ab?ab?所以?＋?－(a＋b)＞0，即＋＞a＋b.

ba?ba?

归纳升华

不等式比较大小的常用方法

(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． (2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式． (3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小． (4)分子分母有理化． (5)利用中间量．

[变式训练] (1)已知0＜x＜2，求函数y＝x(8－3x)的最大值； (2)设函数f(x)＝x＋

2

，x∈[0，＋∞)，求函数f(x)的最小值． x＋1

2222

解：(1)因为0＜x＜2，所以0＜3x＜6，8－3x＞0， 1

所以y＝x(8－3x)＝×3x·(8－3x)≤

31?3x＋8－3x?216??＝3，

23??

4

当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号，

3416

所以当x＝时，y＝x(8－3x)有最大值为. 33(2)f(x)＝x＋所以x＋1＋

222

＝(x＋1)＋－1，因为x∈[0，＋∞)，所以x＋1＞0，＞0， x＋1x＋1x＋1

2

≥22. x＋1

2

， x＋1

当且仅当x＋1＝

即x＝2－1时，f(x)取最小值． 此时f(x)min＝22－1.

专题二 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的求解流程如下： 一化——化二次项系数为正数．