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2015年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩?UΒ= ． 2．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z= ． 3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为
解为
，则c1﹣c2= ． ，则a= ．
4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16
5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= ． 6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为 ．
8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
9．已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±
x，则C2的渐近线方程为 ．
10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为 ． 11．（4分）在（1+x+
）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．
12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2= （元）．
13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为 ．
14．在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2
和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则
?= ．
二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．（5分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件
16．（5分）已知点A的坐标为（4B的纵坐标为（ ） A．
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点
B．
C．
D．
17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3
是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A．方程①有实根，且②有实根 C．方程①无实根，且②有实根 18．（5分）设 Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=则极限A．﹣1
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．
=（ ） B．﹣
C．1
D．2
B．方程①有实根，且②无实根 D．方程①无实根，且②无实根
（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，
20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地． （1）求t1与f（t1）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．
21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．
（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2
﹣x2y1|；
（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．