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冯国臣大学数学资料——微积分 2002-2003 学年第一学期高等数学期中考试试卷答案 一.填空题(本题满分 15 分,共有 5 道小题,每道小题 3 分 ,请将合适的答案填在空中. 1.设 lim x + 2a = 8 ,则 a = _________. x→∞ xa x 2.设 y = x + 1 x arcsin x ,则 y ′ = ______________________. 2 3. 已知 f ′( x0 = 2 ,则 lim x→0 x =

_______________. f ( x0 2 x f ( x0 4.设 f ( x 为可导的奇函数,且 f ′( x0 = 5 ,则 f ′( x0 = ________________. 5. 设 y = 答案: 1 (n ,则 y = ___________________________. x( x + 2 ( 1n n! 1 1 ; 1 arcsin x ; 3. ; 4. 5 ; 5. 1. ln 2 ; 2. 2 2 x n+1 ( x + 2 n+1 4 1 x2 x 二.选择填空题(本题满分 15 分,共有 5 道小题,每道小题 3 分 .以下每道题有四个答案,其中只 有一个答案是正确的,请选出合适的答案填在空中,多选无效. 1.数列极限 lim n[ ln (n 1 ln n ] 是________ . n→∞ ( A .1 ; (B . 1 ; (C . ∞ ; 3 (D .不存在但非 ∞ . 2.函数 f ( x = x x 2 x x 不可导点的个数是______________. 2 ( ( A . 3 ; (B . 2 ; (C . 1 ; (D . 0 . 3.设 f ( x 可导且 f ′( x0 = 1 ,则 x → 0 时, f ( x 在 x0 点处的微分 dy 是____. 2 ( A .比 x 低阶的无穷小; (C .与 x 同阶的无穷小; (B .比 x 高阶的无穷小; (D .与 x 等价的无穷小. 2 4.已知函数 f ( x 具有任意阶导数,且 f ′( x = [ f ( x ] ,则当 n 为大于 2 的正整数时, f ( x 的 n 阶 导数 f (n (x 为___________. (B . n [ f (x ]n+1 ; (C . [ f (x ]2n ; (D . n! [ f (x ]n+1 . ( A . n! [ f (x ]2n ; 5.指出下列函数中,当 x → +0 时,_____________为无穷大量. 第 1 页 共 6 页

冯国臣大学数学资料——微积分 ( A . 2 1 ; (B . sin x ; 1 + sec x x (C . (C ; e ; x (D . (D ; e 1 x . 答案: 1. (B ; 2. ( A ; 3. 4. 5. (D . 三. (本题满分 7 分 设 ai > 0 解: 1 1 x x x x x x x a1x + a2 + L + an a1 + a2 + L + an 1 a1x + a2 + L + an x n = lim1 + 1 lim x →0 x →0 n n 1 x x a1x + a2 + L + an 1 n x x x a1x + a2 + L + an (i = 1, 2, L, n ,求极限 lim x →0 n x . 1 x x x x x a1x + a 2 + L + a n a1 + a2 + L + an 1 n = e ,而且 由于 lim 1 + 1 x →0 n x x a1x + a 2 + L + a n 1 x x a x + a2 + L + an n 1 n lim = lim 1 x →0 x n x →0 x 1 a x 1 1 n 1 n 1 = ∑ ln ai = ln (a1a2 L an = ln (a1a 2 L a n n lim i ∑ n i =1 x→0 x n i =1 n x x a1x + a2 + L + an 1 n x = 所以, lim x →0 a +a +L+a n x 1 x 2 1 x n 1 x 1 x x a1x + a2 + L + an a1x + a2x + L + anx 1 n = lim1 + 1 x →0 n = e ln (a1a2Lan n = (a1a 2 L a n n = n a1a 2 L a n . 1 四. (本题满分 7 分 设曲线 C 的极坐标方程为 ρ = a (1 cos θ ,试求该曲线在 θ = 解: 由 x = ρ cos θ , π 2 处的切线方程. y = ρ sin θ ,将 ρ = a (1 cos θ 代入,

得曲线 C 的参数方程为 x = a (1 cos θ cos θ , y = a (1 cos θ sin θ . 所以, dy dx = a sin 2 θ + a (1 cos θ cos θ , = a sin θ cos θ a (1 cos θ sin θ dθ dθ 第 2 页 共 6 页

冯国臣大学数学资料——微积分 dy a sin 2 θ + a (1 cos θ cos θ sin 2 θ + (1 cos θ cos θ dy dθ 所以, . = = = dx dx a sin θ cos θ a (1 cos θ sin θ sin θ cos θ (1 cos θ sin θ dθ 因此, dy sin 2 θ + (1 cos θ cos θ = dx θ = π sin θ cos θ (1 cos θ sin θ 2 θ= π 2 = 1 . 又当 θ = π 2 时, x = 0 , y = a ,所以曲线 C 在 θ = π 2 处的切线方程为 y a = ( x 0 , 或 五. (本题满分 7 分 讨论函数 f ( x = lim x+ y = a. x n+2 x n 的连续性,对于间断点,要指出其类型. n →∞ x n + x n 解: 当 x ≠ 0 时,有 1 0 < x < 1 x n+ 2 x n . f ( x = lim n = 0 x =1 n →∞ x + x n x 2 x > 1 而函数 f ( x 在区间 ( ∞, 上是连续的.又 x →10 1 , ( 1, 0 , (0, 1 , (1, + ∞ 上为初等函数,因而 f ( x 在这些区间 lim f ( x = lim x 2 = 1 , lim f ( x = lim ( 1 = 1 x →10 x → 1+ 0 x → 1+ 0 所以 x = 1 是函数 f ( x 的第一类跳跃型间断点. x →0 0 lim f ( x = lim ( 1 = 1 , lim f (x = lim ( 1 = 1 x →0 0 x →0 + 0 x →0 + 0 所以 x = 0 是函数 f ( x 的第一类可去型间断点. x →1 0 lim f ( x = lim ( 1 = 1 , lim f ( x = lim x 2 = 1 x →1 0 x →1+ 0 x →1+ 0 所以 x = 1 是函数 f ( x 的第一类跳跃型间断点. 六. (本题满分 7 分 设函数 y = f ( x 在对称区间 ( a, a (a > 0 上有定义,证明:函数 y = f ( x 在区间 ( a, a 上 可以唯一地写成一个奇函数与一个偶函数的和. 证明: 存在性:由于 f ( x = 1 ( f (x + f ( x + 1 ( f (x f ( x ,而且 2 2 1 1 ( f (x + f ( x 是偶函数,而 ( f (x f ( x 是奇函数.由此存在性得证. 2 2 第 3 页 共 6 页

冯国臣大学数学资料——微积分 唯一性:假设 f ( x = g ( x + h( x ,其中 g ( x 是偶函数,而 h ( x 是奇函数.则有 f ( x = g ( x + h( x = g ( x h(x . 解方程组 f ( x = g ( x + h( x ,得 f ( x = g ( x h( x g (x = 1 ( f (x + f ( x , h(x = 1 ( f (x f ( x .因此唯一性得证. 2 2 七. (本题满分 7 分 某人从美国到加拿大度假,他把美圆兑换成加拿大圆时,币面数值增加 12%,回国后他发现把加拿 大圆兑换成美圆时,币面数值减少 12%.⑴ 试将这两个函数表示出来.⑵ 证明这两个函数不互为反函 数,⑶ 问经过这样一来一回的兑换后,他是亏损了还是增加了一些钱? 解: ⑴ 设 f ( x 是将 x 美圆兑换成加拿大圆数, g ( x 是将 x 加拿大圆兑换成美圆数.则, f ( x = x + 0.12 x = 1.12 x g ( x = x 0.12 x = 0.88 x ⑵ 由于 (x ≥ 0 ; (x ≥ 0 . g ( f ( x = 0.88 × f ( x = 0.88 × 1.12 x = 0.9856 x , 这表明, f ( x

与 g ( x 不互为反函数. ⑶ 经过这样一来一回的兑换后,由于 g ( f ( x = 0.9856 x < x ,因此他亏损了一些钱. 八. (本题满分 7 分 钓鱼者站在离水面高 10m 的桥上,他的鱼线末端有一条鱼.设鱼在水的表面,若钓鱼者以每秒 2 m 的速率卷起他的鱼线.试问当鱼线长度为 15m 时,鱼在水面移动的速率是多少? 解: 令 s 表示鱼线的长度, x 表示鱼到桥的水平距离.则由题设, ds = 2 .鱼在水面移动的距离为 dt dx dx .则本题问题归结为:当 s = 15 时, 为多少? dt dt x = x(t 与 s = s (t 都是时间 t 的函数,它们之间的关系由下式给出: x 2 + 10 2 = s 2 . 上面的等式中两端对 t 求导,得 2x 因此有 dx ds = 2s . dt dt dx s = 2 dt x 第 4 页 共 6 页

冯国臣大学数学资料——微积分 当 s = 15 时,由等式 x + 10 = s ,得 x = 5 5 .所以,当鱼线长 s = 15 时,所求速率为 2 2 2 dx s 6 5 = 2 = ≈ 2.7 dt s =15 x s =15 5 九. (本题满分 7 分 设函数 y = y ( x 由方程 xe 解: f (y (m/s . = e y 所确定,其中函数 f 具有二阶导数,且 f ′ ≠ 1 ,试求 d2y . dx 2 两端取对数,得 ln x + f ( y = y .上式两端对 x 求导,得 所以, 1 + f ′( y y′ = y′ x 1 dy = dx x(1 f ′( y 因此, d 2 y 1 f ′( y xf ′′( y y′ (1 f ′( y f ′′( y = = 3 2 dx 2 x 2 (1 f ′( y x 2 (1 f ′( y 2 十. (本题满分 7 分 设 xn = 解: 由于 所以, n n n 1 1 1 k2 k2 k2 n (n + 1(2n + 1 = ∑ ≤∑ ≤∑ = n (n + 1(2n + 1 6 6 6 6 2 6 6 2 k =1 k =1 n +n n +n n + kn k =1 n + n n +n 6 1 n6 + n + 22 n 6 + 2n + 32 n 6 + 3n +L+ n2 n6 + n2 ,求极限 lim xn . n →∞ 1 n +n 6 2 ≤ 1 n + kn 6 ≤ 1 n +n 6 (k = 1, 2, L, n 1 而 lim n →∞ 1 1 n (n + 1(2n + 1 1 n (n + 1(2n + 1 = lim = , 6 n →∞ 3 n +n 6 n6 + n2 1 6 2 lim n→∞ 1 1 n (n + 1(2n + 1 1 n (n + 1(2n + 1 = lim = n →∞ 6 3 n +n 6 n6 + n 1 6 因此由夹逼定理,得 n2 1 22 32 + + +L+ lim xn = lim 6 n →∞ n →∞ n 6 + 2n n 6 + 3n n6 + n2 n +n 十一. (本题满分 7 分 设函数 f ( x = arctan x .⑴ 证明:当 n > 1 时,有等式 第 5 页 共 6 页 1 = . 3

冯国臣大学数学资料——微积分 (1 + x y ( 2 n +1 + 2nxy (n + n(n 1 y (n 1 = 0 ; 成立;⑵ 由上式,求 y 解: (n (0 (n > 1 . 1 2 ,得 1 + x y ′ = 1 . 1+ x2 上式两端对 x 求 n 阶导数,利用 Leibniz 公式,得 ⑴ 由 y′ = ( (1 + x y ( 2 n +1 + 2nxy (n + n(n 1 y (n 1 = 0 ; ⑵ 令 x = 0 ,代入上式,得 y (n+1 (0 = n(n 1 y (n1 (0 . 由此得一个递推公式.由 y ′(0 = 1 , y ′′(0 = 0 ,得 y (2 k (0 = 0 , y (2 k + (0 = ( 1 (2k ! k (n > 1 . (a ≤ x ≤ b ,证明:至 十二. (本题满分 7 分 设函数 f ( x 在区间 [a, 少存在一点 ξ ∈ [a, 证明: 作辅助函数 g ( x = f ( x