1.4.2正弦函数余弦函数的性质1(教学设计) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 20:59:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

SCH高中数学(南极数学)同步教学设计

1.4.2(1)正弦、余弦函数的性质(教学设计)

教学目的:

知识目标:要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义; 能力目标:掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标:让学生自己根据函数图像而导出周期性,领会从特殊推广到一般的数学思

想,体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。

教学重点:正、余弦函数的周期性

教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型:新授课

教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程:

一、创设情境,导入新课:

1.现实生活中的“周而复始”现象:

(1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢?……

(2)现在下午2点30,那么每过24小时候是几点? (3)路口的红绿灯(贯穿法律意识)

2.数学中是否存在“周而复始”现象,观察正(余)弦函数的图象总结规律

y 1–

x ?? ?? ?5? ?2? O ?5? 2? ? 22 ?1 –

正弦函数f(x)?sinx性质如下:

(观察图象) 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的;

1

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2?规律是:每隔2?重复出现一次(或者说每隔2k?,k?Z重复出现) 3?这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx可以说明

结论:象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得;

符号语言:当x增加2k?(k?Z)时,总有f(x?2k?)?sin(x?2k?)?sinx?f(x). 也即:(1)当自变量x增加2k?时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意x,sin(x?2k?)?sinx恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 二、师生互动,新课讲解:

1.周期函数定义:对于函数f (x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。

问题: (1)正弦函数y?sinx,如果是,周期是多少?(2k?,x?R是不是周期函数,k?Z且k?0)余弦函数呢?

(2)观察等式 sin(?)?sin是否成立?如果成立,能不能说 是y=sinx的周期?

424????2 (3)若函数f(x)的周期为T,则kT,k?Z*也是f(x)的周期吗?为什么?

(是,其原因为:f(x)?f(x?T)?f(x?2T)??f(x?kT))

2.最小正周期:T往往是多值的(如y=sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期)周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)

y=sinx, y=cosx的最小正周期为2? (一般称为周期)

从图象上可以看出y?sinx,x?R;y?cosx,x?R的最小正周期为2?; 3、例题讲解

例1(课本P35例2) 求下列三角函数的周期: ①y?3cosx ②y?sin2x(3)y?2sin(x?),x?R.

612?解:(1)∵3cos(x?2?)?3cosx,

∴自变量x只要并且至少要增加到x?2?,函数y?3cosx,x?R的值才能重复出现, 所以,函数y?3cosx,x?R的周期是2?. (2)∵sin(2x?2?)?sin2(x??)?sin2x,

∴自变量x只要并且至少要增加到x??,函数y?sin2x,x?R的值才能重复出现,

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所以,函数y?sin2x,x?R的周期是?.

1?1?1?(3)∵2sin[(x?)?2?]?2sin[(x?4?)?]?sin(x?),,

262626∴自变量x只要并且至少要增加到x?4?,函数y?sin2x,x?R的值才能重复出现, 所以,函数y?2sin(1x??26),x?R的周期是4?.

变式训练1:求下列三角函数的周期:

(1)y=sin3x (2)y=cosx (3)y=3sinx34

(4) y=sin(x+

?10) (5) y=cos(2x+?3) 解:1? ? sin(3x+2?)=sin3x 又sin(3x+2?)=sin3(x+2?3) 即:f (x+

2?3)=f (x) ∴周期T=2?3 2? cosxx3=cos(3?2?)=cos13(x?6?)

即:f (x+6?)=f (x) ∴T=6?

3? ? 3sinx=3sin(x+2?)=3sin(1444(x?8?))=f (x+8?) 即:f(x+8?)=f(x) ∴T=8? 4? ?sin(x+?10)=sin(x+?10+2?) 即f(x)=f(x+2?) ∴T=2?

5? ?cos(2x+?)=cos[(2x+?)+2?]=cos[2(x+?)+?333] 即:f(x+?)=f(x) ∴T=?

由以上练习,请同学们自主探究T与x的系数之间的关系。

小结:形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A?0, x?R) 周期T?2?|?| y=Acos(ωx+φ)也可同法求之

一般结论:函数y?Asin(?x??)?b及函数y?Acos(?x??)?b,x?R的周期T?2?|?|

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