内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:40:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题20 直线与圆的位置关系(1)
阅读与思考
圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系.直线与圆相切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识,包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、切割线定理等.
证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型,证明的基本方法有: 1.利用定义,判断直线和圆只有一个公共点;
2.当已知一条直线和圆有一个公共点时,就把圆心和这个公共点连接起来,再证明这条半径和直线垂直;
3.当直线和圆的公共点没有确定时,就过圆心作直线的垂线,再证明圆心到直线的距离等于半径. 熟悉如下基本图形和以上基本结论.
例题与求解
【例1】如图,已知AB为⊙O的直径,CB切⊙O于点B,CD切⊙O于点D,交BA的延长线于E.若AB=3,DE=2,则BC的长为( ) (青岛市中考试题)
A.2 B.3 C.3.5 D.4
CDEOOBAADBC
例1题图 例2题图
解题思路:本例包含了切线相关的丰富性质,从C点看可应用切线长定理,从E点看可应用切割线定理,又EC为⊙O的切线,可应用切线性质,故解题思路广阔.
【例2】如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠ACB=45°,∠ABC=120°,⊙O的半径为1. (1) 求弦AC,AB的长;
(2) 若P为CB的延长线上一点,试确定P点的位置,使PA与⊙O相切,并证明你的结论.
(哈尔滨市中考试题)
解题思路:第(2)题是考查探索能力的开放性几何题,只要探求得PB与BC,或PC与BC的关系,或求得PB或PC的长,点P的位置即可确定.
【例3】已知△ABC是⊙O的内接三角形,BT为⊙O的切线,B为切点,P为直线AB上一点.过点P作BC的平行线交BT于点E,交直线AC于点F.
(1) 当点P在线段AB上时(如图),求证:PA?PB=PE?PF;
(2) 当点P为线段BA的延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由. (北京市中考试题)
APFOBCACOT
EBT
解题思路:本例是“运动型”的开放性问题,要求点在运动变化中,判断原结论是否成立,通过观察、比较、归纳、分析等系列活动,逐步确定应有的结论.
【例4】已知:如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合),MN为折痕,点M,N分别在边BC,AD上.连接AP,MP,AM,AP与MN相较于点F,⊙O过点M,C,P.
(1) 请你在图1中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹); (2)
AFAP
与是否相等?请说明理由; ANAD
(3) 随着点P的运动,若⊙O与AM相切于点M时,⊙O又与AD相切于点H.设AB为4,请你通过计算,画出这时的图形(图2、图3供参考).
(宜昌市中考试题)
BMCBMOCFBMOCFFANDANPDANPD
解题思路:对于(3),只依靠AB的长不能画出图形,需求出关键的量,因为∠C=90°,⊙O过点M,C,P,故将画出矩形的条件转化为求出CP(或MP)的长.当矩形确定后,依据线段CP的长,就可确定P点的位置.
【例5】如图,已知△ABC内接于⊙O,AD,BD为⊙O的切线,作DE∥BC,交AC于点E,连接EO并延长交BC于点F.求证:BF=FC. (太原市竞赛试题)
解题思路:要证明BF=FC,只需证FO⊥BC即可,连接OA,OB,OD,将问题转化为证明∠DAO=∠EFC.
ADEO
【例6】如图,在等腰△ABC中,已知AB=AC,∠C的平分线与AB交于点P,M是△ABC的内切⊙I与边BC的切点,作MD∥AC,交⊙I于点D,求证:PD是⊙I的切线. (全国初中数学联赛试题)
解题思路:设⊙I切AB于点S,连接IM,IS,ID,直接证明∠PDI=90°困难,不妨证明∠PDI=∠PSI,即证明△PIS≌△PID.
BFCAPD
SIMC
B
能力训练
A 级
1. PA,PB切⊙O于A,B,∠APB=78°,点C是⊙O上异于A,B的任意一点,则∠ACB=__________.
2.如图,以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E.要使DE⊥AC,则△ABC的边必须满足的条件是__________. (武汉市中考试题)
CEDBOCP
AOBA
第2题图 第3题图
AB上任意一点,∠PAB=62°,则∠C的度数是__________. 3. 如图,PA切⊙O于点A,C是?