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第二节 常用逻辑用语
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1．(2018·清华大学自主招生能力测试)“?x∈R，x－πx≥0”的否定是( ) A．?x∈R，x－πx＜0 C．?x0∈R，x0－πx0≤0
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2
B．?x∈R，x－πx≤0 D．?x0∈R，x0－πx0＜0
2
2
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解析：选D.全称命题的否定是特称命题，所以“?x∈R，x－πx≥0”的否定是“?x0
∈R，x0－πx0＜0”．故选D.
2．(2018·衡水模拟)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( ) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
解析：选C.将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，所以选C.
3．(2018·武汉质检)在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是( )
A．(?p)∨(?q)为真命题 B．p∨(?q)为真命题 C．(?p)∧(?q)为真命题 D．p∨q为真命题
解析：选A.命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题?p是“第一次射击没击中目标”，命题?q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(?p)∨(?q)为真命题，故选A.
4．(2018·太原联考)已知a，b都是实数，那么“2＞2”是“a＞b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
解析：选D.充分性：若2＞2，则2
ab2
2
2
ab22
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
aba－b＞1，∴a－b＞0，即a＞b.当a＝－1，b＝－2
2
2
时，满足2＞2，但a＜b，故由2＞2不能得出a＞b，因此充分性不成立．必要性：若
aba2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不
成立．综上，“2＞2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选D.
5．(2019·吉林实验中学期末)下列命题中正确的是( )
A．命题“?x0∈R，使得x0－1＜0”的否定是“?x∈R，均有x－1＞0” B．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题 C．命题“若x＝y，则x＝y”的逆否命题是真命题
D．命题“若x＝3，则x－2x－3＝0”的否命题是“若x≠3，则x－2x－3≠0” 答案：D
6．(2018·日照二模)已知命题p：存在x0∈R，x0－2＞lg x0；命题q：任意x∈R，x＋x＋1＞0.给出下列结论：
①命题“p且q”是真命题；②命题“p且?q”是假命题； ③命题“?p或q”是真命题；④命题“p或?q”是假命题． 其中所有正确结论的序号为( ) A．②③ C．①③④
B．①④ D．①②③
2
2
2
2
2
2
2
ab22
解析：选D.对于命题p，取x0＝10，则有10－2＞lg 10，即8＞1，故命题p为真命题；对于命题q，方程x＋x＋1＝0，Δ＝1－4×1＜0，故方程无解，即任意x∈R，x＋x＋1＞0，所以命题q为真命题．综上“p且q”是真命题，“p且?q”是假命题，“?p或q”是真命题，“p或?q”是真命题，即正确的结论为①②③.故选D.
??log2x，x＞0
7．(2018·山东菏泽模拟)函数f(x)＝?x有且只有一个零点的充分不必要
?－2＋a，x≤0?
2
2
条件是( )
A．a＜0 1
C.＜a＜1 2
1
B．0＜a＜
2D．a≤0或a＞1
解析：选A.因为函数f(x)过点(1，0)，所以函数f(x)有且只有一个零点?函数y＝－2＋a(x≤0)没有零点?函数y＝2(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合可得a≤0或a＞1.观察选项，根据集合间的关系{a|a＜0}{a|a≤0或a＞1}，故选A.
8．(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
解析：答案不唯一，如：a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a＞b＞c，但不满足a＋b＞c. 答案：－1，－2，－3(答案不唯一)
xx?ππ?9．(2018·豫西南五校联考)若“?x∈?－，?，m≤tan x＋2”为真命题，则实数?43?
m的最大值为________．
?ππ?解析：由x∈?－，?可得－1≤tan x≤3.∴1≤tan x＋2≤2＋3，∵“?x∈?43??－π，π?，m≤tan x＋2”为真命题，∴实数m的最大值为1. ?43???
答案：1
10．(2018·青岛模拟)已知命题p：?x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．现有以下结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧?q”是假命题； ③命题“?p∨q”是真命题；④命题“?p∨?q”是假命题． 其中正确结论的序号为________． π
解析：∵当x＝时，tan x＝1，
4∴命题p为真命题，命题?p为假命题． 由x－3x＋2＜0，解得1＜x＜2， ∴命题q为真命题，命题?q为假命题．
∴命题“p∧q”是真命题，命题“p∧?q”是假命题，命题“?p∨q”是真命题，命题“?p∨?q”是假命题．
答案：①②③④
B级 能力提升练
11．(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.|a－3b|＝|3a＋b|?|a－3b|＝|3a＋b|?a－6a·b＋9b＝9a＋6a·b＋
2
2
2
2
2
2
2
b2?2a2＋3a·b－2b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0?a⊥b，故选C.
12．(2018·温州模拟)下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( ) A．a＞b＋1 C．a＞b
2
2
B．a＞b－1 D．a＞b
3
3
解析：选A.由选项中的不等式可得a＞b，a＞b推不出选项中的不等式．选项A中，a＞b＋1＞b，反之a＞b推不出a＞b＋1；选项B中，a＞b＞b－1，反之a＞b－1推不出a＞b，为必要不充分条件；选项C为既不充分也不必要条件；选项D为充要条件，故选A.
13．(2018·江西上饶二模)已知命题p：对任意x∈(0，＋∞)，log4x＜log8x；命题q：存在x∈R，使得tan x＝1－3，则下列命题为真命题的是( )
xA．p∧q C．p∧(?q)
B．(?p)∧(?q) D．(?p)∧q
解析：选D.当x＝1时，log4x＝log8x，所以命题p是假命题；函数y＝tan x的图象与
y＝1－3x的图象有无数个交点，所以存在x∈R，使得tan x＝1－3x，即命题q是真命题，
故(?p)∧q是真命题，选D.
14．(2018·沈阳模拟)有关下列说法正确的是( ) A．“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的必要不充分条件 B．若p：?x0∈R，x0－x0－1＞0，则?p：?x∈R，x－x－1＜0
C．命题“若x－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题是“若x－1≠0，则x≠1或x≠－1”
D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是(?p∧q)∨(?q∧p)为真命题 解析：选D.对于A，由f(0)＝0，不一定有f(x)是奇函数，如f(x)＝x；反之，函数
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2
2
2
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f(x)是奇函数，也不一定有f(0)＝0，如f(x)＝. x∴“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的既不充分也不必要条件．故A错误；对于B，若p：?x0∈R，x0－x0－1＞0，则?p：?x∈R，x－x－1≤0.故B错误；对于C，命题“若
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1
x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题是“若x2－1≠0，则x≠1且x≠－1”．故C错误；
对于D，若命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则?p∧q为假命题，?q∧p为真命题，则(?p∧q)∨(?q∧p)为真命题；反之，若(?p∧q)∨(?q∧p)为真命题，则?p∧q或?q∧p至少有一个为真命题．若?p∧q真，?q∧p假，则p假q真；若?p∧q假，?q∧p真，则p真q假；不可能?p∧q与?q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是(?p∧q)∨(?q∧p)为真命题．故选D.
15．(2018·佛山模拟)已知函数f(x)＝ax－2a＋1.若命题“?x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：已知函数f(x)＝ax－2a＋1，命题“?x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题， ∴原命题的否定是“?x0∈(0，1)，使f(x0)＝0”是真命题，显然a≠0.∴f(1)f(0)＜0， 即(a－2a＋1)(－2a＋1)＜0， 即(a－1)(2a－1)＞0， 1
解得a＞，且a≠1，
2
2
2
2
2
?1?∴实数a的取值范围是?，1?∪(1，＋∞)． ?2??1?答案：?，1?∪(1，＋∞) ?2?
C级 素养加强练