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A级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )．

解析 图A没有零点，因此不能用二分法求零点．图B与图D中均为不变号零点，不能用二分法求零点；故只有C图可用二分法求零点． 答案 C

2．(2012·安康模拟)函数f(x)＝sin x－x零点的个数是( )． A．0 B．1 C．2 D．3

解析 f′(x)＝cos x－1≤0，∴f(x)单调递减，又f(0)＝0，∴则f(x)＝sin x－x的零点是唯一的． 答案 B

3．(★)方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4

解析 (数形结合法)∵a＞0，∴a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．∴方程有两解．

答案 B

【点评】 本题采用数形结合法解题，画出对应函数的图象，观察函数的交点情况确定解的个数.

4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )． A．(－2,2) C．(－∞，－1)

B．[－2,2] D．(1，＋∞)

解析 由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，只需f(－1)f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)． 答案 A

5．(2010·天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )． A．(－2，－1) C．(0,1)

B．(－1,0) D．(1,2)

5

解析 f(x)＝2x＋3x在R上为增函数，且f(－1)＝2－1－3＝－2，f(0)＝1，则f(x)＝2x＋3x在(－1,0)上有唯一的一个零点． 答案 B

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．(2012·西安五校联考)函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________．

1

解析 当m＝0时，x＝2为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然函数x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf(0)＜0，即m＜0.

答案 (－∞，0]∪{1}

7．函数f(x)＝2－x＋x2－3的零点个数是________． 解析 令2－x＋x2－3＝0，即2－x＝3－x2，

在同一坐标系中作出y＝2－x与y＝3－x2的图象如图所示，因此f(x)＝2－x＋x2－3有两个零点．

答案 2

8．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．

解析 由已知条件2a＋b＝0，即b＝－2a ?1?

g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax?x＋2?

??1

则g(x)的零点是x＝0，x＝－2. 1

答案 0，－2 三、解答题(共23分)

9．(11分)(2012·桂林五校联考)关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

解 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]， ①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f(0)＝1＞0，则应有f(2)≤0， 3又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m≤－2. ②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则 Δ≥0??m－10＜－?2＜2??f?2?≥0，

?

，∴?－3＜m＜1，

?4＋?m－1?×2＋1≥0.

?m－1?2－4≥0，