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2020届高三第一轮复习讲义【12】-指数函数与对数函数

一、知识梳理：

1.指数函数的概念、图像和性质 （1）指数的运算性质

am?an?am?n?a?0,m,n?R?;?am??amn?a?0,m,n?R?;n

?a?b?n?an?bn?a?0,b?0,n?R?.x（2）指数函数：一般地，函数y?a(a?0且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R． （3）指数函数的图像与性质 图 像 性

质

【注意】

a?1 0?a?1 fx（1）会根据复合函数的单调性特征“同增异减”，判断形如y?a??(a?0且a?1)函数的单调性；

fx（2）会根据y?ax (a?0且a?1)的单调性求形如y?a??,x?D，y?fax,x?D的值域；

（3）解题时注意“分类讨论”、“数形结合”、“换元”等思想方法的应用。

2．对数的概念及其运算 （1）对数的定义：

如果a=N（a>0，a?1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b．读作“以a为底N的对数”，其中a叫做底数，N叫做真数．必须注意真数N?0，即零与负数没有对数． （2）指数式与对数式的关系：a=N ?logaN=b（a>0，a?1，N?0）．

两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化．

1

bb （1）定义域：x?R （2）值域：y?(0,??) （3）过点：(0,1) （4）在R上是增函数 在R上是减函数 ??（3）对数的性质：

① logaN中N?0(a?0,a?1)，零和负数没有对数，即N?0； ① 底数的对数等于1，即logaa=1，a ① 1的对数0，即loga1=0． （4）对数的运算性质：

① loga?MN?=logaM+logaN（M?0，N?0，a>0，a?1）； ① logalogaN?N，?a?0,a?1,N?0?

M=logaM?logaN（M?0，N?0，a>0，a?1） NlogaN ① logaMn=nlogaM；a?N（M?0，N?0，a>0，a?1）

④ 对数换底公式：logbN=logaN（a>0，a?1，b>0，b?1，N?0）

logab【提醒】

（1）注意真数N?0，即零与负数没有对数.（2）底数满足a>0，a?1 3．对数函数：对数函数的图像与性质 y?logax(a?0且a?1) 定义

底数 a?1 0?a?1

图像

(0,??) 定义域 值域 R 单调性 单调递增 单调递减

(1,0) 定点

x?(0,1)?y?(??,0)； x?(0,1)?y?(0,??)；

函数值特征

x?[1,??)?y?[0,??) x?[1,??)?y?(??,0]

函数y?logax与y?log1x的图像关于x轴对称 对称性 a

2

二、基础检测：

1. 设log1627?a, 则用a表示log616?_______________. 2. 函数y?2x3. 4. 5.

2?2x的单调递增区间是_____________, 值域是____________.

6.

三、例题精讲：

?4?函数y???的单调递减区间是_____________, 值域是____________.

?5?函数y?log0.1(6?x?2x2)的单调递增区间是________________.

2若loga?1, 则实数a的取值范围是________________________.

3不等式(2a2?1)x?1的解集为(??,0), 则实数a的取值范围是______________.

|x?1|xxxx【例1】指数函数①y?a，②y?b，③y?c，④y?d在同一坐标系内的

图像如图所示，则a,b,c,d的大小顺序是（ ）．

A．b?a?d?c B． a?b?d?c

C． b?a?c?d D． b?c?a?d 【例2】若不论a取何正实数，函数y?a【例3】不等式2a?1x?1?2的图像都通过同一定点，则该点坐标是____________．

?2?x?1的解集为???,0?，则实数a的取值范围是 ．

【例4】根据统计资料，在A小镇，当某件信息发布后，t小时之内听到该信息的人口是全镇人口的100(1?2?kt)%，

其中k是某个大于0的常数，今有某信息，假设在发布后3小时之内已经有70%的人口听到该信息．又设最快要T小时后，有99%的人口已听到该信息，则T=_______小时．（保留一位小数）

x?2【例5】已知2

x2?x?1?????4?，求函数y?2?2的值域．

x?x【例6】已知函数y?4?x?a?21?x?3,x???2,???的最小值是?4，求实数a的值．

【例7】 若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：

f1?x??2log2x，f2?x??log2?x?2?，f3?log22x,f4?log2(2x)则“同形”函数是（ ）

A f1(x)与f2(x) B f2(x)与【例8】 函数f(x)?log2(f3(x) C f2(x)与f4(x) D f1(x)与f4(x)

ax?1?2)在x?[1,3]上恒有意义，则实数a的取值范围是_________．

x2?x?22【例9】 函数y?log0.3(x?2x)的单调递减区间为 ．

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