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区域的离散化

第二章 区域的离散化

2.1简介

在大多数工程问题中，我们需要找到，如位移，应力，温度，压力和速度作为空间坐标（x，y，z）的函数的一个空间变量的值。在瞬态或不稳定状态的问题中，空间变量的值不仅是空间坐标（X. Y，Z）的函数值，也是时间坐标（t）的函数值。所研究问题的几何形状（区域或求解区域）往往是不规则的。有限元分析的第一个步骤涉及把不规则区域离散成较小和规则的的子域，也就是有限的单元。这是相当于用有限数目的自由度的系统来替代有无限多的自由度区域。

有限单元区域的建模可以有多种方法来实现。把所研究区域划分成有限个单元的不同方法的域涉及不同数量的的计算时间，并往往会导致物理问题求解的不同的近似解。离散化的过程本质上是一中工程判断的实践过程。有限元理想化的有效的方法需要一定的经验和简单指引的知识。对于较大的问题，涉及复杂的几何形状，基于手动程序的有限元理想化的分析阶段需要大量的时间和精力。用于网格自动生成某些程序已经被开发，这些程序可以实现复杂区域的理想化，并且能够实现分析区域接口的最小化。

2.2基本单元的形状

单元的形状，大小，数量和配置必须仔细选取，使得原来物体或区域尽可能精确模拟二不增加求解所需要的计算工作量。大多数情况下，不同的单元的选择是由物体的几何形状以及描述系统所需的独立坐标数目来决定的。如果所研究问题的的几何形状，材料属性和空间变量能够由具有一个空间坐标情况来描述，那么我们可以使用图2.1（a）所示的一维的或线的单元。例如，杆（或片）单元的温度分布，管道流体的压力分布以及受轴向载荷作用下的杆单元的变形，都可以使用这些单元进行确定。虽然这些单元具有横截面面积，但它们一般都示意性地示看成线性单元（图2.1（b））。在某些情况下，单元的横截面面积可能是不均匀的。对于一个简单的分析，一维的元素被假定为具有两个节点，每端一个，与空间变量的值相对应，这些变量被看做是未知量（自由度）。然而，对于梁的分析，该空间变量的值（横向位移）及其导数（斜率）的值被选择作为每个节点处的未知量（自由度），如图2.1（c）所示。

当所研究问题的配置和其他细节可以描述成两个独立的空间坐标时，我们可以使用如图2.2所示的二维单元。有益于二维分析的基本单元是三角形单元。虽然通过装配两个或四个三角形单元，如图2.3所示，可以获得的四边形（或

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非线性有限元分析

图2.1

它的特殊形式，矩形，平行四边形），但是，在某些情况下，四边形单元（或矩形或平行四边形）的使用证明是有利的。对于平板的弯曲分析，多自由度（横向位移和它的附加位移）用于每个节点上。

图2.2

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区域的离散化

图2.3两个或四个三角形单元集合成四边形单元

如果所研究物体的几何形状，材料特性，以及其他参数可以由三个独立的空间坐标所描述，我们可以通过使用如图2.4所示的三维单元来对身体进行理想化。基本的三维单元，类似于在二维问情况下的三角形单元，是四面体单元。在某些情况下，六面体单元，它可以通过组装在图2.5中所示的5个四面体而得到，用起来也是很有力的。一些问题实际上是三维问题，它们可以只由一个或两个独立的坐标来进行描述。采用轴对称或环型单元，如图2.6所示，可以对这些问题进行理想化。具有轴对称的问题，如活塞，储罐，阀门，火箭喷嘴以及可重复进入飞行器的热防护罩，都属于这一类问题。

图2.4三维有限单元

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非线性有限元分析

对于涉及弯曲的几何形状问题的离散化，弯曲侧的有限元与是有用的。具有弯曲边界的典型单元，如图2.7所示。建立曲线边界模型的能力已经成为可能，该过程可以通过添加中间节点来实现。直边的有限单元被称为线性元素，而那些有曲边的单元被称为高阶单元。

2.3离散化过程

在离散化过程中应采取的各种考虑因素，会在以下各节中给出。

2.3.1单元类型

通常情况下，物理的问题中使用的单元类型将是显而易见的。例如，如果问题涉及根据一组给定的负载条件下的（图2.8（a））的桁架结构的分析，那么，用于理想化的单元类型显然是“杆或线单元”，如在图2.8（b）所示。同样地，在图2.9（a）所示的短梁的应力分析的情况下，可以通过使用在图2.9（b）中所示的三维实体单元来完成有限单元的理想化。然而，用于理想化的单元类型可能不是显而易见的，在这种情况下，我们就需要进行有判断的选择单

图2.5 五个四面体单元集合六面体单元

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