内容发布更新时间 : 2025/1/7 15:31:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

解三角形

【考纲说明】

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

【知识梳理】

一、正弦定理

abc???2R（R为△ABC外接圆半径）1、正弦定理：在△ABC中，。 sinAsinBsinC2、变形公式：（1）化边为角：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC; （2）化角为边：sinA?abc,sinB?,sinC?; 2R2R2R （3）a:b:c?sinA:sinB:sinC （4）

a?b?cabc????2R.

sinA?sinB?sinCsinAsinBsinC1111abcS?ah?absinC?acsinB?bcsinA??2R2sinAsinBsinC 3、三角形面积公式：?ABC22224R4、正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一） 二、余弦定理

1、余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?b?c?a2bc222222222

b?c?a?2accosB?cosB?c?a?b

2ca222c?a?b?2abcosC?cosC?a?b?c

2ab2222222、余弦定理可以解决的问题：

第 1 页 共 12 页

（1）已知三边，求三个角；（解唯一）

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：

（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.

北 北 西 α 东 目标 α i?h lh 南 东 B θ

l图1 图2 图3 图4

2、方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为?（如图2）. 3、方向角

相对于某一正方向的水平角（如图3）.

4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）

【经典例题】

1、（2012天津理）在?ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC?（ ）

A．

7 25B．?7 25C．?7 25D．

24 25【答案】A 【解析】

8b?5c,由正弦定理得8sinB?5sinC，又C?2B，?8sinB?5sin2B，

47,cosC?cos2B?2cos2B?1?. 525所以8sinB?10sinBcosB，易知sinB?0,?cosB?o2、（2009广东文）已知?ABC中，?A,?B,?C的对边分别为a,b,c若a?c?6?2且?A?75，则b?

第 2 页 共 12 页

( )

A．2 B．4＋23 C．4—23 D．6?2 【答案】 A

【解析】sinA?sin750?sin(300?450)?sin300cos450?sin450cos300?2?64 由a?c?6?2可知,?C?750,所以?B?300,sinB?12 由正弦定理得b?a?sinB?2?6sinA2?6?12?2,故选A

43、（2011浙江）在?ABC中，角A,B,C所对的边分a,b,c.若acosA?bsinB，则sinAcosA?cos2B?( A．-

12 B．12 C． -1 D． 1 【答案】D

【解析】∵acosA?bsinB，∴sinAcosA?sin2B，

∴sinAcosA?cos2B?sin2B?cos2B?1.

4、（2012福建文）在?ABC中,已知?BAC?60?,?ABC?45?,BC?3,则AC?_______.

【答案】2

【解析】由正弦定理得

ACsin45??3sin60??AC?2

5、（2011北京）在ABC中，若b?5,?B??4,sinA?13，则a? . 【答案】

523 【解析】：由正弦定理得

asinA?bsinB又b?5,?B??1a54,sinA?3所以1??,a?523

3sin46、（2012重庆理）设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA?35,cosB?513,b?3,则c?______ 【答案】c?145 第 3 页 共 12 页

)