内容发布更新时间 : 2024/4/28 5:39:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题层级快练(十八)
lnx
1．(2019·河北保定模拟)已知f(x)＝，则( )
xA．f(2)>f(e)>f(3) C．f(3)>f(2)>f(e) 答案 D
1－lnx
解析 f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2，令f′(x)＝0，得x＝e.所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，
x1
f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故x＝e时，f(x)max＝f(e)＝，而f(2)
e＝
ln2ln8ln3ln9
＝，f(3)＝＝，所以f(e)>f(3)>f(2)．故选D. 2636
B．f(3)>f(e)>f(2) D．f(e)>f(3)>f(2)
2．若0
xex－exex（x－1）ex
解析 令f(x)＝，则f′(x)＝＝.
xx2x2当0
x2x13．(2019·山东师大附中模拟)设函数f(x)＝e2x－alnx. (1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数； 2(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln.
a
答案 (1)a>0时，f′(x)存在唯一零点 (2)证明略
a
解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)．
x当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点； a
当a>0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－，
x
a
因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，
x所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
a1
又f′(a)>0，当b满足0＜b＜且b＜时，f′(b)＜0，
44故当a>0时，f′(x)存在唯一零点．
(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；
B．ex2－ex1 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值aa22 为f(x0)．由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln. x02x0aa2 故当a>0时，f(x)≥2a＋aln. a 4．(2019·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝xlnx＋ax，a∈R，函数f(x)的图像在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直． (1)求a的值和函数f(x)的单调区间； (2)求证：ex>f′(x)． 答案 (1)单调递增区间为(e2，＋∞)，单调递减区间为(0，e2) － － (2)证明略 解析 (1)由题易知，f′(x)＝lnx＋1＋a，x>0，且f(x)的图像在x＝1处的切线的斜率k＝2， 所以f′(1)＝ln1＋1＋a＝2，所以a＝1. 所以f′(x)＝lnx＋2， 当x>e －2 时，f′(x)>0， －2 当0 － － 所以函数f(x)的单调递增区间为(e2，＋∞)，单调递减区间为(0，e2)． (2)证明：设g(x)＝ex－f′(x)＝ex－lnx－2，x>0， 1 因为g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增， x 1 1 且g′(1)＝e－1>0，g′()＝e2－2<0， 2 1 所以g′(x)在(，1)上存在唯一的零点t， 2111 使得g′(t)＝et－＝0，即et＝( tt2 当0 111 所以x>0时，g(x)≥g(t)＝et－lnt－2＝－lnt－2＝t＋－2≥2－2＝0， tet1 又 (2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. 答案 (1)单调递减区间为(－∞，ln2)，单调递增区间为(ln2，＋∞)；极小值2(1－ln2＋a) 无极大值 (2)略 解析 (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，ln2) － ln2 0 2(1－ln2＋a) (ln2，＋∞) ＋ 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)． f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．无极大值． (2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0， 所以g(x)在R内单调递增． 于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)． 又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0. 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1. 6．已知函数f(x)＝alnx＋b（x＋1） x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2. (1)求a，b的值； (2)当x>0且x≠1时，求证：f(x)>（x＋1）lnx x－1. 答案 (1)a＝b＝1 (2)证明略 解析 (1)函数f(x)＝alnx＋b（x＋1）x的导数为f′(x)＝ab x－x2， 曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2， 可得f(1)＝2b＝2，f′(1)＝a－b＝0，解得a＝b＝1. (2)证明：当x>1时，f(x)>（x＋1）lnx x－1， 即为lnx＋1＋12lnx1 x>lnx＋x－1，即x－x－2lnx>0. 当0 x－1，即为x－x－2lnx<0， 2 设g(x)＝x－112（x－1） x－2lnx，g′(x)＝1＋x2－x＝x2≥0， 可得g(x)在(0，＋∞)上递增， 当x>1时，g(x)>g(1)＝0，即有f(x)>（x＋1）lnx x－1. 当0 x－1. 综上可得，当x>0且x≠1时，f(x)>（x＋1）lnx x－1都成立． 7．(2019·银川调研)已知函数f(x)＝lnx－1 2 ax2＋x，a∈R.