内容发布更新时间 : 2024/12/27 16:23:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§5.1 平面向量的概念及线性运算

考纲展示? 1.了解向量的实际背景．

2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示．

4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．

考点1 平面向量的有关概念

向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________． (2)零向量：长度为________的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于________的向量．

(4)平行向量：方向相同或________的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向________的向量． (6)相反向量：长度相等且方向________的向量． 答案：(1)方向 模 (2)0 (3)1个单位 (4)相反 (5)相同 (6)相反

向量有关概念的理解误区：相等向量；共线向量．

→

答案：平行四边形

→→

解析：AD＝BC表示AD∥BC且AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形．

→

答案：梯形

→

(2)若四边形ABCD满足AD＝kBC(k>0，k≠1)，则四边形ABCD的形状是__________．

→

(1)若四边形ABCD满足AD＝BC，则四边形ABCD的形状是__________．

- 1 -

→→

解析：AD＝kBC(k>0，k≠1)表示AD∥BC，但AD与BC不相等，所以四边形ABCD是梯形.

[典题1] (1)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；

→→

②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是( ) A．②③ C．③④ [答案] A

[解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

→→

②正确．∵AB＝DC， →

→

→→

∴|AB|＝|DC|且AB∥DC. 又A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD为平行四边形；

→

→＝DC.

③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ④不正确．当b＝0时，a，c可能不平行． 综上所述，正确命题的序号是②③. (2)给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；

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B．②④ D．②③④

→→→→→→

反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB|＝|DC|，AB∥DC且AB，DC方向相同．因此AB

④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的个数为( ) A．1 C．3 [答案] C

[解析] ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点；②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．

[点石成金] 1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．

3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．

4．非零向量a与

B．2 D．4

aa的关系：是a方向上的单位向量． |a||a|考点2 向量的线性运算

向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律 交换律：a＋b＝加法 求两个向量和的运算 ________； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(________) - 3 -