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实变函数期末练习题（1-4）

姓名 班级

练习1

一、单项选择题

1、下列各式正确的是（ ）

（A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak;

n??n?1k?n??n??n?1k?n??????（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak;

n??n?1k?nn??n?1k?n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） （A）P? c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P

'?3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测

4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A）若fn(x)?f(x), 则fn(x)?f(x) (B) sup?fn(x)?是可测函数

n（C）inf?fn(x)?是可测函数; （D）若fn(x)?f(x),则f(x)可测 n5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数 （C）f(x)在[a,b]上L可积 (D) ?af'(x)dx?f(b)?f(a)

'b二. 填空题

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________

2、设E是?0,1?上有理点全体，则E'=______,E=______,E=______.

3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都_________________________________，

o（第1页，共13页）

则称E是L可测的

4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切分划，使

_____________________________________,则称f(x)为 ?a,b?上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明. 1、设E?R1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。 2、若mE?0，则E一定是可数集.

3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数

4．设f(x)在可测集E上可积分，若?x?E,f(x)?0，则?Ef(x)?0 四、解答题

?x2,x为无理数1、设f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R?可积，是否L?可积，若可积，

1,x为有理数?求出积分值。 2、求limn?0

五、证明题.

1、证明?0,1?上的全体无理数作成的集其势为c.

?ln(x?n)?xecosxdx n（第2页，共13页）

2、设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数a,E?{x|f(x)?a}是闭集。

3、在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

n?men?0. 4、设mE??,f(x)在E上可积，en?E(|f|?n)，则limn

5、设f(x)是E上a.e.有限的函数，若对任意??0，存在闭子集F??E，使f(x)在F?上连续，且m(E?F?)??，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)

（第3页，共13页）

练习2

一.单项选择题

1．设M,N是两集合，则 M?(M?N)=（ ） (A) M (B) N (C) M?N (D) ? 2. 下列说法不正确的是( )

(A) P0的任一领域内都有E中无穷多个点，则P0是E的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是E的聚点 (D) 内点必是聚点

3. 下列断言( )是正确的。

（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。

（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 5. 若f(x)是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?L?可积； (B) f(x)在?a,b?R?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积 (C) f(x)在?a,b?L?可积?|f(x)|在?a,b?R?可积; (D) f(x)在?a,???R?广义可积?f(x)在?a,+??L?可积 二. 填空题

1、设An?[,2?],n?1,2,?，则limAn?_________。

n??1n1n（第4页，共13页）