内容发布更新时间 : 2024/12/25 2:01:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2、设P为Cantor集，则 P? ，mP?_____，P=________。

??3、设?Si?是一列可测集，则m??Si??______?mSi i?1??i?1?o4、鲁津定理：__________________________________________

5、设F(x)为?a,b?上的有限函数，如果_________________则称F(x)为?a,b?上的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例. 1、由于?0,1???0,1???0,1?，故不存在使?0,1?和?01，?之间1?1对应的映射。 2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。 3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。 4、连续函数一定是有界变差函数。

四.解答题

?x,x为无理数1、设f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R?可积，是否L?可积，若可积，

1,x为有理数?求出积分值。

2、求极限 limn???0

1nx3sinnxdx. 221?nx（第5页，共13页）

五.证明题

1. 1、设f(x)是(??,??)上的实值连续函数，则对任意常数 c，E?{x|f(x)?c} 是一开集.

2. 设??0,?开集G?E,使m*(G?E)??，则E是可测集。

3.在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

4.设函数列fn(x) (n?1,2,?)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x)，证明：fn(x)a.e.收敛于f(x)。

5.设f(x)在E??a,b?上可积，则对任何??0，必存在E上的连续函数?(x)，使

?|f(x)??(x)|dx??.

ab

（第6页，共13页）

练习3

一、单项选择题

1、设A1n?[n,2?(?1)n],n?1,2,?，则（ ）

(A) limAn?[0,1] （B）limAn?(0,1]

n??n??(C) limAn?(0,3] （D）limAn??n?(0,3)

n??2、设E是?0,1?上有理点全体，则下列各式不成立的（ ） （A）E'?[0,1] (B) Eo?? (C) E=[0，1] (D) mE?1

3、下列说法不正确的是（） (A) 若A?B，则m*A?m*B

（B） 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测

4、设{En}是一列可测集，E1?E2???En??，且mE1???，则有（（A）m?????n?1E???n???limn??mEn (B) m???n?1E?n???limn??mEn （C）m?????n?1E?n???limn??mEn;（D）以上都不对 5、设f(x)是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的（ ） (A) f(x)在[a,b]上的一致连续函数 (B) f(x)在[a,b]上处处可导 （C）f(x)在[a,b]上L可积 (D) f(x)是有界变差函数 二. 填空题

1、设集合N?M，则M?(M?N)?_________

（第7页，共13页）

）

2、设P为Cantor集，则 P? ，mP?_____，P=_______。 3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有_________，则称E是L可测的 4、叶果洛夫定理：

5、设f(x)在E上可测，则f(x)在E上可积的 充要 条件是|f(x)|在E上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明. 1、任意多个开集之交集仍为开集。

2、若mE?0，则E一定是可数集.

3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

四、解答题

?x2,x为无理数1、设f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R?可积，是否L?可积，若可积，

?0,x为有理数o求出积分值。 2、求极限 limn???0

1nxsin3nxdx 221?nx12（第8页，共13页）