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广州大学2013-2014学年第一学期考试卷解答
课 程：概率论与数理统计（48学时） 考 试 形 式：闭卷考试
一、选择题（每小题3分，总计15分）
1．下列给出的数列中，可用来描述某一随机变量分布律的是（ A ）.
i(5?i2)（A）pi?，i?1,2,3,4,5； （B）pi?，i?0,1,2,3；
1561i?1（C）pi?，i?1,2,3,4,5； （D）pi?，i?1,2,3,4,5.
4252．对于任意两个事件A与B，若P(AB)?P(A)P(B)，则（ C ）. （A）AB??； （B）P(A|B)?P(B)；
（C）P(AB)?P(A)P(B)； （D）P(AB)?P(A)P(B).
3．已知P(A)?0.3，P(B)?0.5，A与B互斥，则P(B?A)?（ D ）. （A）0.15； （B）0.2； （C）0.35； （D）0.5.
4．设X与Y为两个独立的随机变量，则下列选项中不一定成立的是（ D ）. （A）E(X?Y)?E(X)?E(Y)； （B）E(XY)?E(X)E(Y)； （C）D(X?Y)?D(X)?D(Y)； （D）D(XY)?D(X)D(Y).
5．设f(x)，F(x)分别为某连续型随机变量的概率密度函数和分布函数，则必有( B ). （A）f(x)连续； （B）F(x)连续； （C）f?(x)?F(x)； （D）limf(x)?1.
x???二、填空题（每小题3分，总计15分）
1．将4个球随机地放入4个盒子中（每个盒子中装多少个球不限），则每盒中各有一球的事件的概率等于3/32.
2．设随机变量X~N(0,1)，?(x)为其分布函数，则?(x)??(?x)?___1___. 3．每次试验中A出现的概率为p，在三次试验中A出现至少一次的概率是
124，则p? 1251/5 .
4．设离散型随机变量X的分布律为
X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 其分布函数为F(x)，则F(2)? 1 .
5．设X~N(21,4)，X1,?,X50为X的一个样本，则样本均值X的方差为 0.08 . 三、（本题满分8分）
将标号为1, 2, 3, 4的四个球随意地排成一行, 求下列各事件的概率: （1）第1号球与第2号球相邻;
（2）第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻).
解：将4个球随意地排成一行有4!=24种排法，即基本事件总数为24.------2分 记（1），（2）的事件分别为A,B.
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（1）先将第1，2号球排在任意相邻两个位置，共有2?3种排法，其余两个球可在其余两个位置任意排放，共有2!种排法，因而A有2?3?2?12种排法，故
P(A)?12/24?1/2.------5分
（2）第1号球排在第2号球的右边的每一种排法，交换第1号球和第2号球的位置便对应于第1号球排在第2号球的左边的一种排法，反之亦然.
因而第1号球排在第2号球的右边与第1号球排在第2号球的左边的排法种数相同，各占总排法数的1/2 故有P(B)?1/2.------8分 四、（本题满分10分）
设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.
解：记事件A1：“该产品是次品”， 事件A2：“该产品为乙厂生产的”， 事件A3：“该产品为丙厂生产的”，事件B：“该产品是次品”.------2分 由题设，知
P(A1)?45%，P(A2)?35%，P(A3)?20%，
P(B|A1)?4%，P(B|A2)?2%，P(B|A3)?5%，------5分
由全概率公式得
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?3.5%.------8分
i?13由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得
P(A1B)P(A1)P(B|A1)18??51.4%.------10分 ?P(A1|B)?35P(B)P(B)五、（本题满分8分）
设随机变量X的分布函数为
x?0,?0,?1/3,0?x?1,? F(x)???1/2,1?x?2,?x?2.?1,（1）求X的概率分布律；（2）求E(2X?1). 解：（1）由F(x)是一个阶梯型函数，知X是一个离散型随机变量，F(x)的跳跃点分别为0，1，2，对应的跳跃高度分别为1/3，1/6，1/2. 故X的概率分布为
X012 ------4分
pi1/31/61/2（2）E(2X+1)=(2+1)*1/6+(2*2+1)*1/2+(2*0+1)*1/3=3.------8分 六、（本题满分10分） 设(X,Y)的联合分布律为 1 2 3 X Y
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0 1
0.04 0.06 0.24 A 0.12 0.18 （1）求A；（2）求X，Y的边缘分布律；（3）判断X，Y是否独立. 解：（1）由??pij?1得
ijA＝1－（0.04－0.06－0.24－0.12－0.18）＝0.36.------3分 （2）X的边缘分布律为
X p 0 0.4 1 0.6
------5分 3 0.3
------7分
Y的边缘分布律为
Y p 1 0.1 2 0.6 （3）经逐一验证，都有
P{X?xi,Y?yj}?P{X?xi}P{Y?yj}，
所以X，Y独立.------10分 七、（本题满分14分）
设连续型随机变量X的密度函数为
?a?bx2,0?x?1, f(x)??其它.?0,3且E(X)?. 求：
5（1）X的分布函数F(x)?P{X?x}； （2）X的方差D(X).
解: （1）由于?????f(x)dx?1，则
10?由E(X)?????f(x)dx??(a?bx2)dx?a?b?1，------2分 3??33，则?xf(x)dx?，于是
??55??1ab32xf(x)dx?x(a?bx)dx???，------4分 ????0245b?a??1?363这样有方程组?，解之得a?,b?.------6分 ab355????245X的分布函数为F(x)??
x??f(t)dt，
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当x?0时，F(x)??0dt?0，-------7分
??x3632f(t)dt??0(?t2)dt?x?x3，------9分 ??555513x6x?1?当时, F(x)??f(t)dt?(?t2)dt?1，------10分
05??50x?0??32?这样就有X的分布函数为F(x)??x?x30?x?1.
5?51x?1??0当0?x?1时，F(x)??x13692??.------14分 xf(x)dx?(E(X))?0x2(?x2)dx???552525八、（本题满分10分）
某市保险公司开办一年人身保险业务, 被保险人每年需交付保险费160元, 若一年内发生重大人身事故, 其本人或家属可获2万元赔金. 已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险, 问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万到40万元之间的概率是多少?
（2）D(X)????221附表 ?(x)?2??x??e?t22dt 1.5 2 2.5 3 x 0.5 1 ?(x) 0.6915 0.8413 0.9332 0.9772 0.9938 0.9987 解：记X是5000个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数, 则X~b(n,p)，其中n?5000，p?0.005.------2分 由中心极限定理知X?np近似服从N(0,1).------4分 np(1?p)保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为0.016?5000?2X万元.------5分 所求概率为
P?20?0.016?5000?2X?40??P?20?X?30?------6分
?X?np30?25??20?25??P????------7分
np(1?p)25?0.995???25?0.995???(1)??(?1)------8分 ?2?(1)?1------9分 ?0.6826.-----10分
九、（本题满分10分）
设总体X服从指数分布，其概率密度函数
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??e??x,x?0， f(x,?)??0,x?0?其中??0是未知参数. 已知x1,x2,?,xn是来自总体X的一组样本观察值，求参数?的最大似然估计值. 解：似然函数为 L(?)??f(xi,?)，------2分 i?1n易知L(?)的最大值点为 L1(?)???e??xi i?1n的最大值点，------4分 lnL1(?)?nln????xi，------6分 i?1ndlnL1(?)nn???xi，------8分 d??i?1dlnL1(?)?0，求得参数?的最大似然估计值为 令d???n?1.------10分 ?nx?xii?1
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