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毕达哥拉斯定理小记

2014071137 朱燕

初等几何中最引人注目的，也是最著名最有用的一个定理，就是所谓的毕达哥拉斯定理:在任何直角三角形中，斜边上的正方形等于两条直角边上的正方形之和。如果有一个定理可以当之无愧地算是数学史上的“菁华”，那么毕达哥拉斯定理大概 就是主要的候选者了，因为它可能是数学史上第一个真正名副其实的定理。但把这个著名的定理归功于毕达哥拉斯，似乎心里总不是那么踏实。其实在古代印度和中国的有些著作中也可以见到对该定理的阐述，这些著述的时期至少可以上溯至毕达哥拉斯的时代以前。很可能是毕达哥拉斯或他那著名的哥老会的某个成员，第一个对该定理提供了合乎逻辑的演绎证明。

在E.S.卢米斯的著作《毕达哥拉斯命题》第二版中，他搜集了这个著名定理的370种证明，并加以分类整理。

印度数学家兼天文学家巴斯卡拉给出了毕达哥拉斯定理的两种证明：其中一种如图一所示，由相似直角三角形可见cb?bm，ca?an，即是cm?b，cn?a，相加得到

22a2?b2?c?m?n??c2.这个证明在17世纪由英国数学家丁·瓦里斯（1616-1703）重新发

现。

图一

美国第二十任总统J·A·伽菲尔德极富创造力，他当学生时就对初等数学表现出热切的兴趣和良好的能力。他在和一些国会议员讨论数学问题时灵机一动想出来了一种非常漂亮的毕达哥拉斯定理的证明。即先用梯形面积公式，然后再把梯形面积表为它分成的三个直角三角形面积之和。这样求得的梯形面积表达式相等。故有：

?a?b??a?b?/2?2??ab?/2??c2/2，即a2?2ab?b2?2ab?c2

从而：a?b?c 如图二

222

图二

参考文献：[1] 刘培杰.从毕达哥拉斯到怀尔斯[M].哈尔滨.哈尔滨工业大学出版社，2006.10:21-23