内容发布更新时间 : 2024/12/23 11:21:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

解：做A∨(A∧B)?A的真值表。

A B + + - - 5．(A∧﹁B)∧(﹁A∨B)

解：做(A∧﹁B)∧(﹁A∨B)的真值表。

A B ﹁A 假 假 真 真 ﹁B 假 真 假 真 A∧﹁B 假 真 假 假 ﹁A∨B 真 假 真 真 (A∧﹁B)∧(﹁A∨B) 假 假 假 假 真 真 真 假 假 真 假 假 + - + - A∧B + - - - A∨(A∧B) + + - - A∨(A∧B)?A + + + + 显然，A∨(A∧B)?A是永真式。

显见，(A∧﹁B)∧(﹁A∨B)是矛盾式。

（二）符号化以下推理，并用真值表判明它们是否是重言式。

1．如果A队在这场球赛中取胜，则A队将赢得这次联赛冠军。所以，如果A队在这场球赛中取胜，并

且它继续打下面的场次，则A队将赢得这次联赛冠军。

解：令p表示A队在这场球赛中取胜，q表示A队将赢得这次联赛冠军，r表示A队继续打下面的

场次，则p→q├ (p∧r)→q。

（注意，这里符号化的结果是推理形式，不是逻辑公式。因此，本题的意思是希望用真值表判定(p→q)→((p∧r)→q)是否是重言式。下述几题类似。）

做(p→q)→((p∧r)→q)的真值表如下。

p q r p→q 1 1 0 0 1 1 1 1 p∧r 1 0 1 0 0 0 0 0 (p∧r)→q 1 1 0 1 1 1 1 1 (p→q)→((p∧r)→q) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 显然，(p→q)→((p∧r)→q)是永真式，p→q├ (p∧r)→q有效。

2．如果市场是自由的，则单独某个供应商不可能左右物价。如果单独某个供应商不可能左右物价，则市

场是稳定的。现在市场物价是稳定的，所以市场是自由的。

解：令p表示市场是自由的，q表示单独某个供应商左右物价，r表示市场是稳定的，则(p→﹁q)∧(﹁

q→r)∧r├ p。这里只能用真值表判定((p→﹁q)∧(﹁q→r)∧r)→p是否是重言式。做((p→﹁q)∧(﹁q→r)∧r)→p的真值表如下。 p q r ﹁q 0 0 1 1 p→﹁q 0 0 1 1 ﹁q→r 1 1 1 0 (p→﹁q)∧(﹁q→r)∧r 0 0 1 0 ((p→﹁q)∧(﹁q→r)∧r)→p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 显见，((p→﹁q)∧(﹁q→r)∧r)→p不是重言式，(p→﹁q)∧(﹁q→r)∧r├ p无效。

3．只有知道自己懂得很少的人，才算得上得知。如果一个人算得上得知，那么他就是聪明人。所以，只

有知道自己懂得很少的人，才是聪明人。

解：令p表示一个人知道自己懂得很少，q表示一个人算得上得知，r表示那么一个人是聪明人，则

(p←q)∧(q→r)├ p←r。

这里只能用真值表判定((p←q)∧(q→r))→(p←r)是否是重言式。做它的真值表如下。 p q r p←q 1 1 1 1 0 0 1 1 q→r 1 0 1 1 1 0 1 1 (p←q)∧(q→r) 1 0 1 1 0 0 1 1 p←r 1 1 1 1 0 1 0 1 ((p←q)∧(q→r))→(p←r) 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 显见，((p←q)∧(q→r))→(p←r)不是重言式，(p←q)∧(q→r)├ p←r无效。

4．只有搞好经济建设，才算得上国家繁荣富强。只有国家繁荣富强，人民生活水平才能提高。所以，如

果搞不好经济建设，就不能使人民生活水平提高。

解：令p表示搞好经济建设，q表示国家繁荣富强，r表示人民生活水平提高，则(p←q)∧(q←r)├﹁

p→﹁r。

这里只能用真值表判定((p←q)∧(q←r))→(﹁p→﹁r)是否是重言式。做((p←q)∧(q←r))→(﹁p→﹁r)的真值表如下。 p q r 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ﹁p 0 0 0 0 1 1 1 1 ﹁r 0 1 0 1 0 1 0 1 p←q q←r 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 (p←q)∧(q←r) 1 1 0 1 0 0 0 1 ﹁p→﹁r 1 1 1 1 0 1 0 1 ((p←q)∧(q←r))→(﹁p→﹁r) 1 1 1 1 1 1 1 1 显见，((p←q)∧(q←r))→(﹁p→﹁r)是重言式，(p←q)∧(q←r)├﹁p→﹁r有效。 （三）用归谬赋值法判明以下推理形式是否有效。

1．只有A和B一起上场，或对方弃权（C），我队才会取胜（D）。B未参加且对方未弃权。因此，我

队将不能取胜。

解：根题意，该推理形式为(((A∧B)∨C)←D)∧﹁B∧﹁C├﹁D。要用归谬赋值法判定该推理是否有

效，就需判定((((A∧B)∨C)←D)∧﹁B∧﹁C)→﹁D是否是重言式。

((((A∧B)∨C)←D)∧﹁B∧﹁C)→﹁D

………………………………………………………………0 ……（1） ……………………………………（2） …………1 1 0 ………………………………1 …（3） ……1 …1 1 ……………（4） …………0 0 …1

…（5） ……1 0

…… 假设 由（1）得 由（2）得 由（3）得 由（4）得

赋值出现矛盾，所以((((A∧B)∨C)←D)∧﹁B∧﹁C)→﹁D是重言式，即推理(((A∧B)∨C)←D)∧﹁B∧﹁C├﹁D是有效的。

2．如果调查继续进行（A），则将揭露出新的证据（B）。如果揭露出新的证据，则会有若干领导人物

受牵连（C）。如果有若干领导人物受牵连，则报纸将不再公布案情（D）。如果继续调查会导致报纸不再公布案情，则揭露新的证据会导致继续调查。调查不再继续。因而新的证据不会被揭露出来。 解：根据题意，该推理形式为(A→B)∧(B→C)∧(C→﹁D)∧((A→﹁D)→(B→A))∧﹁A├﹁B。要用

归谬赋值法判定该推理形式是否有效，就需判定((A→B)∧(B→C)∧(C→﹁D)∧((A→﹁D)→(B→A))∧﹁A)→﹁B是否是重言式。

((A→B)∧(B→C)∧(C→﹁D)∧((A→﹁D)→(B→A))∧﹁A)→﹁B

显然，赋值出现矛盾，((A→B)B→C→﹁∧T F ((A→﹁D)→(B→A))∧﹁A)→﹁F T T T T T T T 所以T T T F T ∧T (F F T )∧T F F D)T T (CF F T B是重言式，即推理(A→B)∧(B→C)∧(C→﹁D)∧((A→﹁D)→(B→A))∧﹁A├﹁B是有效的。

3．如果张丰接到电报（p），他就会乘飞机赴会（q）。但是，如果张丰未乘飞机赴会，则他将赶不上会

议（﹁r）。如果张丰赶上会议，则李盛将被选进委员会（s）。但是，如果李盛被选进委员会，则张丰会接到电报。如果张丰没赶上会议，或张丰未接到电报，则张丰未乘飞机赴会，或李盛未被选进委员会。张丰未赶上会议。因而，张丰未接到电报或者李盛未选进委员会。

解：根据题意，该推理形式为(p→q)∧(﹁q→﹁r)∧(r→s)∧(s→p)∧((﹁r∨﹁p)→(﹁q∨﹁s))∧﹁r├

﹁p∨﹁s。要用归谬赋值法判定该推理形式是否有效，就需判定((p→q)∧(﹁q→﹁r)∧(r→s)∧(s→p)∧((﹁r∨﹁p)→(﹁q∨﹁s))∧﹁r)→(﹁p∨﹁s)是否是重言式。

赋值出现矛盾。所以，((p→q)∧(﹁q→﹁r)∧(r→s)∧(s→p)∧((﹁r∨﹁p)→(﹁q∨﹁s))∧﹁r)→﹁q)p∨﹁s)是重言式，(p→q)∧(∧﹁((q→r)∧(r→→(s)∧(s→p)∧((﹁r)r∨﹁p)(﹁s) q∨﹁s))∧﹁((p(→∧(﹁q→﹁r)∧(r即→ s)∧(s→p)﹁﹁r∨﹁p)﹁q∨﹁s))∧﹁→(﹁p→∨﹁

r├∨﹁是有效推理。 T T T T T T T pT sT ﹁T T F T T F T F T

（四）运用真值表法解答下列问题

A：只有甲去北京，乙才去北京。 B：如果甲去北京，那么乙也去北京。 C：甲不去北京或乙不去北京。

解：设p表示甲去北京，q表示乙去北京。则上述三个命题可以分别符号化为：

A：p←q B：p→q C：﹁p∨﹁q 做它们的真值表：

p q 1 1 1 0 0 1 0 0 ﹁p 0 0 1 1 ﹁q 0 1 0 1 p←q 1 1 0 1 p→q 1 0 1 1 ﹁p∨﹁q 0 1 1 1 F T F T T T F T F T T T F F F T F F T T

1．请列出下列ABC三个命题的真值表，并回答ABC均真时，甲、乙是否去北京。

从真值表可以看出，当当ABC均真时，甲和乙都不去北京。

2．列出ABC三个命题的真值表，并回答：当ABC中恰有两假时，能否断定甲村所有人家有彩电、能

够断定乙村有些人家没有彩电吗？

A：只有甲村有些人家没有彩电，乙村所有人家才有彩电。 B：甲村所有人家有彩电，并且乙村所有人家有彩电。 C：甲村所有人家有彩电，或者乙村所有人家有彩电。

解：设p表示甲村有些人家没有彩电，q表示甲村所有人家才有彩电，r表示乙村所有人家才有彩电。

则上述三个命题可以分别符号化为：

A：p←q B：p∧q C：p∨r 做它们的真值表：

p q r p←q 1 1 1 1 0 0 1 1 p∧q 1 1 0 0 0 0 0 0 p∨r 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 有彩电。

3．甲、乙、丙三位领导发表下列意见。请用真值表解答：是否有同时满足甲、乙、丙的意见的方案。

甲：如果小张去黄山，那么小刘也去黄山。 乙：只有小张去黄山，小刘才去黄山。 丙：小张去黄山，或者小刘去黄山。

解：设p表示小张去黄山，q表示小刘去黄山。则上述三个命题可以分别符号化为：

甲：p→q 乙：p←q 丙：p∨q 做它们的真值表：

p q 1 1 1 0 0 1 0 0 五、证明题

（一）利用给出的符号或变项为下面的论证构造形式证明。

1．如果日用品短缺日益严重（p），则物价上涨（q）。如果财政部门改组（r），则财政管制将不再继

续（﹁s）。如果通货膨胀的威胁继续存在（t），则财政管制将继续下去。如果生产过剩（u），则物价不会上涨。或者生产过剩，或者财政部门改组。因而，或者日用品短缺不再继续发展，或者通货膨胀的威胁不再继续存在。 证明：⑴ p→q

⑵ r→﹁s ⑶ t→s ⑷ u→﹁q ⑸ u∨r ⑹ q→﹁u ⑺ p→﹁u ⑻ u→﹁p

已知

已知 已知 已知 已知

⑷，假言易位推理 ⑴、⑹，条件三段论 ⑺，假言易位推理

p→q 1 0 1 1 p←q 1 1 0 1 p∨q 1 1 1 0 当ABC中恰有两假时，可以断定并非甲村所有人家都有彩电，但不能断定乙村有些人家没

显然，有能够同时满足甲乙丙三人意见的方案，即小张和小刘都去黄山。

⑼﹁s→﹁t ⑽ r→﹁t ⑾ ﹁p∨﹁t

⑶，假言易位推理 ⑵、⑼，条件三段论

⑸、⑻、⑽，二难推理的复杂构成式

即(p→q)∧(r→﹁s)∧(t→s)∧(u→﹁q)∧(u∨r)├﹁p∨﹁t。

2．如果石油供应保持现状（A）而石油消耗量增加（B），则石油会涨价（C）。如果石油消耗量增加导

致石油涨价，则国家要实行石油配给制（D）。石油供应保持现状。因而，国家要实行石油配给制。 证明：⑴ (A∧B)→C

⑵ (B→C)→D ⑶ A

⑷ ﹁(A∧B)∨C ⑸ ﹁A∨﹁B∨C ⑹ (﹁B∨C)→D ⑺ (﹁A∨﹁B∨C)→D ⑻ D

已知 已知 已知

⑴，等值命题 ⑷，德摩根定律 ⑵，等值命题 ⑹，条件附加律

⑸、⑺，充分条件推理的肯定前件式

即((A∧B)→C)∧((B→C)→D)∧A├ D。

注意：（1）p→q=﹁p∨q。

（2）p→(p∨q)叫做析取附加律，其直观含义是：如果p成立，那么p∨q也成立。 （3）条件附加律(p→q)→((p∨r)→q)的直观解释是，如果p蕴涵q，那么给p附加一个

条件后，它们仍然蕴涵q。条件附加律可以视为析取附加律的一种扩展。 可见，教材介绍的自然推理方法并不够用。当然，它的不足够性不仅仅反映在这一个地方。

3．如果宣战是一个正确的战略行动（D），则或者已有50个师做好战斗准备（F），或者已有20个远

程轰炸机联队准备好发动攻击（T）。然而，并没有50个师已做好战斗准备。因而，如果20个远程轰炸机联队尚未准备好发动攻击，则宣战不是一个正确的战略行动，或者有新的武器可用（S）。 证明：⑴ D→(F∨T)

⑵ ﹁F ⑶ ﹁T

已知 已知 假设

⑴，假言易位推理 ⑷，德摩根定律

⑸、⑹，充分条件推理的肯定前件式 ⑺，析取附加式 ⑶、⑻，→引入

⑷ ﹁(F∨T)→﹁D ⑸ (﹁F∧﹁T)→﹁D ⑹ ﹁F∧﹁T ⑺ ﹁D

⑻ ﹁D∨S ⑼﹁T→(﹁D∨S)

⑵、⑶，联言推理的组合式

即(D→(F∨T))∧﹁F├﹁T→(﹁D∨S)。

注意，在自然推理系统中，如果需要，可以随时引入→，用上面的公式蕴涵下面的公式，但反之则

不然，即不能用下面的公式蕴涵上面的公式。

（二）用自然推理的方法证明下述推理的有效性。 1．①(A∧B)→(A→D∧E)，②(A∧B∧C)。所以，D∨E。

证明：⑴ (A∧B)→(A→D∧E)

⑵ A∧B∧C ⑶ A∧B ⑷ A ⑸ A→D∧E ⑹ D∧E

已知 已知

⑵，联言推理的分解式 ⑶，联言推理的分解式

⑴、⑶，充分条件推理的肯定前件式 ⑷、⑸，充分条件推理的肯定前件式