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长宁区2016学年第二学期高三年级质量调研测试

（满分150分，答题时间120分钟）

数学试题

2017.04.05

考生注意：

1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．答题纸共2页．

2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号．将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．

4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合A??xx??1，x?R?，集合B??xx?2，x?R?，则A?B?______．

?3?2i（i为虚数单位），则|z|?_________.

的最小正周期是___________．

2．已知复数z满足(2?3i)z3．函数

sinx2cosxf(x)?2cosxsinxx2y24．已知双曲线2??1(a?0)的一条渐近线方程为y?2x，则a?________． 2a(a?3)5．若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为_______

到0.1cm3）．

cm3（结果精确

?x?y?0?6．已知x，y满足?x?y?2，则z?2x?y的最大值是_________．

?x?2?0?7．直线??x?t?1?x?3cos?（t为参数）与曲线?（?为参数）的交点个数是_______．

y?2sin?y?2?t??8．已知函数

?2x，x?0,?1?11f(x)??的反函数是f(x)，则f()=________.

20?x?1?log2x，29．设多项式1?x?(1?x)?(1?x)3???(1?x)(x?0，n?N*)的展开式中x项的

n1 / 9

系数为Tn，则limTn?_________.

n??n210．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，

每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=________. 11．已知函数

f(x)?xx?a，若对任意x1??2,3?，x2??2,3?，x1?x2，恒有

f(x1?x2f(x1)?f(x2))?，则实数a的取值范围为___________． 2212．对于给定的实数k?0，函数f(x)?k的图像上总存在点C，使得以C为圆心，1为半x径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是_________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．设a，b?R，则“a?b?4”是“a?1且b?3”的（ ）．

（A）充分而不必要条件 （C）充要条件

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分又不必要条件

14．如图，P为正方体ABCD?A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则ΔPAC在该正方体各

个面上的射影可能是（ ）． ① ② ③ ④ （A）①②③④

（B）①③

（C）①④

A A1 P D B C

D1

B1 C1

（D）②④

15．如图，AB为圆O的直径且AB?4，C为圆上不同于A、B

????????????OC的任意一点，若P为半径上的动点，则(PA?PB)?PC的

最小值是（ ）． （A）?4

（B）?3

（C）?2

（D）?1

C P A O B

16．设x1，2?，10的一个排列，则满足对任意 x2，?，x10为1，，第15题图

n，且1?m?n?10，都有xm?m?xn?n成立的 正整数m，不同排列的个数为（ ）．

（A）512 （B）256 （C）255 （D）64

2 / 9

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

E、F分别是线段BC、CD1的中点． 如图，在正方体ABCD?A1BC11D1中，

（1）求异面直线EF与AA1所成角的大小； （2）求直线EF与平面AA 1B1B所成角的大小．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为

D1 A1 F C1

B1

D E

A B

C

ππ（即?ACB?），墙AB的长度为6米（已有两面墙的可

33利用长度足够大），记?ABC??．

（1）若??π，求ΔABC的周长（结果精确到0.01米）； 4（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即?ABC的面积尽可能大．问当?为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．

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A C ? B