内容发布更新时间 : 2024/5/24 1:27:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

拉格朗日插值绘制龙格现象

一、问题叙述

龙格反例1/(1+x^2)说明高次代数插值会导致误差很大。在区间[-5,5]上取等距结点构造10次拉格朗日插值多项式用计算机绘制图形显示龙格现象。 二、理论分析

1. 拉格朗日插值：假设有（n+1）个拉格朗日插值结点x0?x1??xn ，已知函数值

y0?f(x0),y1?f(x1),,yn?f(xn)

求n次多项式Ln(x)使其满足插值条件f(xj)?yj(j?0,1,,n)

类似于二次插值方法，根据插值结点构造(n+1)个拉格朗日插值基函数

lk(x)?(x?x0)?(x?xk?1)(x?xk?1)?(x?xn)

(xk?x0)?(xk?xk?1)(xk?xk?1)?(xk?xn)?1j?k每一个基函数都是零点多项式lk(xj)??,(j?0,1n)

0j?k?Ln(x)满足插值条件 Ln(xj)?f(xj)拉格朗日插值基函数：lk(x)??j?0j?kn(j?0,1,,n)

(x?xj)(xk?xj)拉格朗日插值多项式：Ln??lj(x)yj

j?0n2. 切比雪夫插值：n阶切比雪夫多项式定义为

Tn(x)?cos(narccosx),(n?0,1,),x?[?1,1]

若令??arccosx ，则有Tn?cosn? 。由余弦函数性质，有

cos(n?1)??cos(n?1)??2cos?cosn?

所以有递推关系 Tn?1(x)?2xTn(x)?Tn?1(x),(n?1,2比雪夫多项式零点为xk?cos 3. Hermite插值

如果f(x)在区间[a,b]上连续可导，x0,x1,L xn?[a,b] 是互异的，那么存在唯一的多项式H2n?1(x)满足多项式在这些点上的值与函数f(x)的值相等、多项式在这些点的一阶导数值与函数的一阶导数值相等。 这个多项式可以表示为

)，又有T0?1,T1?x，所以n阶切

2k?1?,(k?0,1,2n,n?1) 。

H2n?1(x)??f(xi)[1?2(x?xi)li'(x)li2(x)

i?0n??f'(xi)(x?x)li2(x)i?0n

其中 li(x)??j?0j?knn(x?xj)(xk?xj),i?0,1,L,n

li'(x)??j?0j?k1,i?0,1,L,n xi?xj三、算法MATLAB实现

（1）拉格朗日插值描绘龙格现象，代码如下：

function f = Language(x,y,x0) syms t l;

if(length(x) == length(y)) n = length(x); else

disp('x和y维数不相等'); return; end h=sym(0); for (i=1:n) l=sym(y(i)); for(j=1:i-1)

l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end;

for(j=i+1:n)

l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end; h=h+l; end

simplify(h); if(nargin == 3) f = subs (h,'t',x0); else

f=collect(h); f = vpa(f,6); end 主程序 x1=-5:1:5; x2=-5:2:5; x3=-5:2/3:5;

y11=1./(1+x1.^2);次拉格朗日插值 y12=1./(1+x2.^2);%5次拉格朗日插值 y13=1./(1+x3.^2);次拉格朗日插值 x0=-5:0.001:5; %调用拉格朗日函数

y1=Language(x1,y11,x0); y2=Language(x2,y12,x0); y3=Language(x3,y13,x0); y0=1./(1+x0.^2); plot(x0,y0); hold on

plot(x0,y2,'r'); hold on

plot(x0,y1,'k'); hold on

plot(x0,y3,'g'); hold on xlabel('x'); ylabel('y');

title('原函数f(x)=1/(1+x^2) 等距拉格朗日插值');

legend('原函数','5次拉格朗日插值','10次拉格朗日插值','15次拉格朗日插值'); grid on

插值效果如下：

图1 等距拉格朗日插值

图1分别进行5次、10次、15次拉格朗日插值，可以看出5次插值拟合效果不是很好，10次插值在插值区间的边界处出现很大波动，明显偏离原函数，15次插值看到波动情况加强，故得出结论：拉格朗日插值次数不宜过高。 高次插值边界出现这种波动现象叫做龙格现象。