内容发布更新时间 : 2024/6/20 22:59:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|?5；

解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A和B之间正好有3个女生的排列是多少？

解：（a）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b）用x表示男生，y表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y

在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C（8，5）×7！×5！ （c）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A，B之间存在0个男生， A，B之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A，B之间存在1个男生， A，B之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A，B之间存在2个男生，A，B之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A，B之间存在3个男生，A，B之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A，B之间存在4个男生，A，B之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A，B之间存在5个男生，A，B之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2

所以总的排列数为上述6种情况之和。

1.3题 m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若

(a)男生不相邻(m?n?1); (b)n个女生形成一个整体； (c)男生A和女生B排在一起； 分别讨论有多少种方案。

解：(a) 可以考虑插空的方法。

n个女生先排成一排，形成n+1个空。因为m?n?1正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。

则男生不相邻的排列个数为

ppnn?n?1m

(b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。 因此，共有n!?(m?1)!种可能。

(c)男生A和女生B排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！种可能， A、B组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！

(这里实际上是m+n-2个学生和AB的组合形成的)种可能。共有组合数为2!?(m?n?1)! 1.4题 26个英文字母进行排列，求x和y之间有5个字母的排列数 解：C（24，5）*13！

1.5题 求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。

解：根据题意，千位可以从3，4，5，7，6中选取，个位可以从1，3，5，7，9中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232 1.6 题 计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！ 解：由序数法公式可知 1!+1=2! 2·2!+1·1!+1=3! 3·3！+2·2！+1·1！+1=4！

n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1= (n+1)!

所以1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！=(n+1)!－１

1.7题 试证：(n?1)(n?2)?(2n)被2n除尽。

n证明：因(2n)!?2n!(2n?1)!!

(n?1)(n?2)?(2n)n!(n?1)(n?2)?(2n)(2n)!???(2n?1)!! nnn2n!2n!2

因为(2n-1)!!是整数所以(n?1)(n?2)?(2n)能被2n除尽。

1．8题 求10和20的公因数数目。

404040403010306030402030解：因为10?2*5?2*5*5 20?2*5?2*2*5

4030 它们最大公因子为2*5转化为求 最大公因子 能除尽的整数个数，能除尽它的整数是

ab 2*5,0??a??40,0??b??30

根据乘法法则，能除尽它的数个数为 41*31=1271

21.9题 试证n的正除数的数目是奇数。

22证明：设有0?a?n,n?b?n, 则一定有表达式n?a?b，

则 可知符合范围的a和b必成对出现，所以为偶数。

22又当a=b=n时，表达式n=a?b仍然成立。 所以n的正除数的数目是“偶数?1”为奇数。

40301.10题 证任一正整数n可唯一地表成如下形式:

证：对n用归纳法。

先证可表示性：当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n的非负整数，命题成立。 对于n,设k!≤n＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!

由假设对n-k!,命题成立，设

,0≤ai≤i,i＝1,2,…。

，其中

ak≤k-1,，命题成立。

再证表示的唯一性：设

aj·j!+aj-1·(j-1)!+…+a1·1! =bj·j!+bj-1·(j-1)!+…+b1·1!,

, 不妨设aj＞bj,令j=max{i|ai≠bi}

(aj?bj)?j!??(bi?ai)?i!?j!??i?i!??bi?ai?i!??(bi?ai)?i! 矛盾，命题成立。

1.11题 证明nC(n-1,r)= (r+1)C(n,r+1),并给予组合解释.

证：nC(n?1,r)?n(n?1)!(r?1)?n!(r?1)?n!???(r?1)C(n,r?1)

r!?(n?r?1)!(r?1)?r!?(n?r?1)!(r?1)!?(n?r?1)!所以左边等于右边

组合意义：等式左边：n个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r个；

等式右边：n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。 所以两种方案数相同。 1.12题 证明等式：

?kC(n,k)?n2k?1nn?1

?n?1?n?n?1?n?1?n?1?n?1?n?n?nC(n?1,0)?C(n?1,1)?L?C(n?1,n?1)?n2?右边 ?? 证明： 等式左边??n????????k?1?k?1?k?1?k?1?s?0?s?n