内容发布更新时间 : 2024/5/21 17:32:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

【考向解读】

高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查． 【命题热点突破一】导数的几何意义 例1、（2018年全国Ⅲ卷理数）曲线【答案】-3 【解析】所以

，则

在点

处的切线的斜率为

，则

________．

【变式探究】(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________； 【答案】1

1

【解析】 (1)由题意可知f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，

x因为f(1)＝a，所以切点坐标为(1，a)， 所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)， 即y＝(a－1)x＋1.

令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.

【变式探究】若直线y?kx?b是曲线y?lnx?2的切线，也是曲线【答案】1?ln2

【解析】对函数y?lnx?2求导得y??与曲线y?lnx?2相切于点P1(x1,y1)，

的切线，则b? ．

1，对x求导得y??1，设直线y?kx?b与曲线x?1，

相切于点P2(x2,y2)，则

由点P1(x1,y1)在切线上得，由点P2(x2,y2)在切线上得

，这两条直线表示同一条直线，所以，解得

.

【感悟提升】与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：

①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率； ②由点斜式求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．

(2)已知斜率求切点：已知斜率R，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.

(3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决.

【变式探究】 函数f(x)＝exsin x的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) 3ππA. B. 43ππC. D. 46【答案】C

【解析】因为f′（x）＝exsin x＋excos x，所以f′（0）＝1，即曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的π斜率为1，所以在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为.

4【命题热点突破二】函数的单调性 与最值 例2、（2018年全国Ⅱ卷理数）若A. B. C. 【答案】A 【解析】因为

，因此

【变式探究】(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；

3

(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.

4a

x＋11

【解析】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝

x若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)单调递增． 11

0，－?时，f′(x)>0；当x∈?－，＋∞?时，f′(x)<0. 若a<0，则当x∈?2a???2a?

2ax＋1x

.

，所以由

得

，从而的最大值为。

D.

在

是减函数，则的最大值是

11

0，－?单调递增，在?－，＋∞?单调递减． 故f(x)在?2a???2a?

1111

－?＝ln?－?－1－. (2)由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－取得最大值，最大值为f??2a??2a?2a4a113131

－?－1－≤－－2，即ln?－?＋＋1≤0. 所以f(x)≤－－2等价于ln??2a??2a?2a4a4a4a1

设g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝－1.

x

当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．故当x11

－?＋＋1≤0，即＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，ln??2a?2af(x)≤－

3

－2. 4a

－1

【变式探究】(2017·课标全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)exA．－1 B．－2e3 C．5e3 D．1 【答案】A

－

－

的极值点，则f(x)的极小值为( )

【变式探究】已知

（I）讨论f(x)的单调性；

.

（II）当a?1时，证明对于任意的x?1,2成立.

??