内容发布更新时间 : 2024/12/29 23:53:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数列

典型例题分析

【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数

an

列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和Sn. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，

1?8d由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1?12d＝1， ?2d解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.

n

(Ⅱ)由（Ⅰ）知2=2，由等比数列前n项和公式得

amSm=2+2+2+…+2=

23n

2(1?2n)1?2n=2-2.

ann+1

小结与拓展：数列?a?是等差数列，则数列{a}是等比数列，公比为a，其中a是常数，d是?a?的公差。（a>0且a≠1）.

dn 1

【题型2】 与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合

例2 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋2a3＋…＋2

*

2

n－1

an＝

8n对任意的n∈N都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．求数列{an}与{bn}的通项公式。 解：a1＋2a2＋2a3＋…＋2①

当n≥2时，a1＋2a2＋2a3＋…＋2－1)(n∈N) ② ①－②得2

n－1*

2

n－2

2

n－1

*

an＝8n(n∈N)

an－1＝8(n

an＝8，求得an＝2

4－n

，

在①中令n＝1，可得a1＝8＝2∴an＝2

4－n

*

4－1

，

(n∈N)． 由题意知b1＝8，b2＝4，

b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，∴bn

2

＋1

－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，

法一（迭代法）

bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8) ＝n－7n＋14(n∈N)． 法二（累加法）

即bn－bn－1＝2n－8， bn－1－bn－2＝2n－10， …

b3－b2＝－2， b2－b1＝－4， b1＝8，

相加得bn＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)

(n－1)(－4＋2n－8)＝8＋＝

2

3

2*