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北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）

高三数学 （理科）

本试卷共4页

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合A?{x|?3?x?1}，B?{x|x??1或x?2}，则AB?

（A）{x|?3?x?2} （C）{x|?1?x?1} （2）复数z?（B）{x|?3?x??1} （D）{x|1?x?2}

i在复平面上对应的点位于 1?i（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 （3）已知a,b?R，且a?b，则下列不等式一定成立的是

（A）a2?b2?0 （C）

11??0 ab

（D）e?a?e?b?0

（B）cosa?cosb?0

（4）在平面直角坐标系xOy中，角?以Ox为始边，终边与单位圆交于点(,)，则tan(???)的值为

（A）

4 323455433（B）（C）? （D）?

344（5）设抛物线y?4x上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（6）故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窑瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫

书画展”.某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有

（A）6种（B）8种（C）10种（D）12种

（7）设{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则“d（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

?0”是“?Sn?为递增数列”的

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（8）某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某

个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”.已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为 （A）4（B）3（C）2（D）1

第二部分（非选择题共110分）

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二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若a2?c2?b2?ac，则B=． （10）在极坐标系中，圆??2cos?的圆心到直线?sin??1的距离为． ?x?y≤0,?（11）若x,y满足?x?y≤4,则z?2x?y的最大值为．

?x≥1,?（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体 的表面积为____________.

（13）设平面向量a,b,c为非零向量．能够说明“若a鬃b=ac，

则b=c”是假命题的一组向量a,b,c的坐标依次为．

（14）单位圆的内接正n(n?3)边形的面积记为f(n)，则f(3)?_________；下面是关于f(n)的描述: ①f(n)?n2?；②f(n)的最大值为?；③f(n)?f(n?1)；④f(n)?f(2n)?2f(n). sin2n其中正确结论的序号为__________.（注：请写出所有正确结论的序号） 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

已知函数f(x)?sinx?2sinxcosx?cosx. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)求f(x)在[0,]上的最大值和最小值. （16）（本小题13分）

从高一年级随机选取100名学生，对他们的期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示. （Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率；

（Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数为x，求x的

分布列和数学期望E(x)；

（Ⅲ）试判断这100名学生数学成绩的方差a与语文成绩的方差b的大小.（只需写出结论） （17）（本小题14分）

如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将PAD，PBC沿PA，PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O，如图2.在三棱锥P?OAB中，E为PB的中点． （Ⅰ）求证：PO?AB；

（Ⅱ）求直线PB与平面POA所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角P?AO?E的大小.

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图1 图2 （18）（本小题13分）

x2y23C：??1(a?b?0)已知椭圆的离心率为，且过点A(2，0)． a2b22(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 设M，N是椭圆C上不同于点

A的两点，且直线AM，AN的斜率之积等于－4.试问直线MN是否过

1

定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由． （19）（本小题14分） 已知函数f(x)?e?a(x?1).

（I）若曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为0，求a的值； （II）若f(x)?0恒成立，求a的取值范围；

（III）证明：当a?0时，曲线y?f(x)(x?0)总在曲线y?2?lnx的上方. （20）（本小题13分）

在n?n(n?2)个实数组成的n行n列的数表中，aij表示第i行第j列的数，记ri?ai1?ai2?x?ain,cn(1＃in)，cj?a1j?a2j??anj(1?j?n).若aij?{?1,0,1}(1＃i,jn).且r1,r2,,rn,c1,c2,两两不等，则称此表为“n阶H表”.记Hn??r1,r2,（I）请写出一个“2阶H表”；

,rn,c1,c2,,cn?.

（II）对任意一个“n阶H表”，若整数??[?n,n]，且??Hn，求证：?为偶数； （III）求证：不存在“5阶H表”.