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初中数学·人教版·八年级下册——第十七章 勾股定理

17.2 勾股定理的逆定理

测试时间:15分钟

一、选择题

1.下列四组长度的线段中,可以构成直角三角形的是( ) A.1,2,3 B.2,3,4

C.3,4,5 D.4,5,6

答案 C 因为32+42=25=52,所以根据勾股定理的逆定理可以判断出长度为3,4,5的线段能构成直角三角形,故选C. 2.下列定理中,没有逆定理的是( ) A.内错角相等,两直线平行 B.直角三角形两锐角互余 C.对顶角相等

D.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

答案 C 先写出原命题的逆命题,若逆命题是真命题,则该逆命题也是逆定理. 3.如图,AD为△ABC的中线,且AB=13,BC=10,AD=12,则AC等于( )

A.10 B.11 C.12

D.13

答案 D ∵AD为△ABC的中线,∴BD=5,又∵AB=13,AD=12,∴

BD2+AD2=52+122=169=132=AB2,∴△ADB为直角三角形,∠ADB为直角,又BD=CD,∴AD垂直平分BC,∴AC=AB=13.

二、填空题

4.在△ABC中,AB=12 cm,AC=5 cm,BC=13 cm,则BC边上的高AD= . 答案

60

cm 13

解析 因为AB2+AC2=122+52=169,BC2=132=169,所以AB2+AC2=BC2,利用勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形,由2AB·AC=2BC·AD,得2×12×5=2×13×AD,解得AD=13 cm.

5.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且满足c+a=2b,c-a=2b,则△ABC的形状是 . 答案 直角三角形 解析 ∵c+a=2b,c-a=2b, ∴(c+a)(c-a)=2b×b,即c2-a2=b2, 2∴c2=b2+a2,∴△ABC是直角三角形. 6.观察以下几组勾股数,并寻找规律: ①3,4,5; ②5,12,13; ③7,24,25; ④9,40,41; ……

请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: . 答案 11、60、61

解析 从题中所给几组勾股数可以发现每组勾股数的第一个数是奇数,且随组数增加,第一个数逐步递增2,故第5组第一个数是11,又发现每组勾股数的第二、第三个数相差-1,故设第⑤组勾股数的第二个数为x,则第三个数为x+1,根据勾股定理得112+x2=(x+1)2,解得x=60,故第⑤组勾股数是11、60、61.

三、解答题

1

1

1

1

1

1

1

60

7.如图,已知等腰△ABC的底边BC=20 cm,D是腰AB上一点,且CD=16 cm,BD=12 cm,求△ABC的面积.

解析 ∵BD2+DC2=122+162=400,BC2=202=400,

∴BD2+DC2=BC2,

∴△BDC为直角三角形,CD⊥AB. 又AC=AB=BD+AD=12+AD,

在Rt△ADC中,AC2=AD2+DC2,即(12+AD)2=AD2+162, 解得AD=3 cm,

∴AB=BD+AD=12+3=3(cm), ∴S△ABC=2AB·CD=2×3×16=

1

150

400

(cm2). 3

1450

14

8.已知:如图,∠DAC=∠EAC,AD=AE,D为BC上一点,且BD=DC,AC2=AE2+CE2.求证:AB2=AE2+CE2.

证明 ∵AC2=AE2+CE2, ∴△AEC为直角三角形,∠E=90°. ∵AD=AE,∠DAC=∠EAC,AC=AC, ∴△ADC≌△AEC(SAS), ∴∠ADC=∠E=90°, 又∵BD=DC, ∴AB=AC. 又AC2=AE2+CE2, ∴AB2=AE2+CE2.