内容发布更新时间 : 2024/4/24 20:55:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高等数学应用题（上）

1、 一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些

数据：若每间客房定价为160元，住房率为55%；每间客房定价为140元，住房率为65%；每间客房定价为120元，住房率为75%；每间客房定价为100元，住房率为85%.欲使每天收入最高，每间客房定价应为多少？

问题分析

易于看出，定价每降低20元，住房率便增加10%，呈线性增长趋势；

1. 160元的定价是否为最高价应给予确定； 2. 是否所有客房定价相同需要确定. 模型假设

3. 在无其他信息时，每间客房的最高定价均为160元； 4. 所有客房定价相同. 模型建立

根据假设1.，如果设y代表旅馆一天的总收入，而x 表示与160元相比降低的房价，则可得每降低1钱元的房价，住房率增加为10%/20=0.005.由此便可以得到

y?150(160?x)(0.55?0.005x) （1） 注意到0.55?0.005x?1,又得到0?x?90,于是得到所求的数学模型为： maxy?150(160?x)(0.55?0.005x)，0?x?90. 模型求解

这是一个二次函数的极值问题，利用导数方法易于得到x?25?[0,90]为唯一驻点，问题又确实存在最大值，故x?25（元）即为价格降低幅度，也即160-25=135（元）应为最大收入所对应的房价.

模型分析

1. 将房价定在135元时，相应的住房率为0.55?0.005?25?67.5%,最大收入为

ymax?150?135?67.5%?13668.75（元）.表面上住房率没有达到最高，但是总收入达

到最大，这自然是住房率与价格相互制约造成.

2. 可以将五种定价的总收入求出以做比较（从略）和检验知我们的结果是正确的. 3. 为了便于管理，将价格定在140元/（天.间）也无妨，因为此时的总收入与最高收入仅差18.75元.

4. 假如定价是180元，住房率应为45%，其相应的收入只有12150元，由此可知，我们的假设1.是正确的.

2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张正方形椅子放稳。

答：(一)假设：地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。

如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。 记 H 为脚A,C 与地面距离之和，

G 为脚B,D 与地面距离之和，

θ 为AC连线与X轴的夹角，

不妨设H(0)>0 , G(0)=0,(为什么?)

令 f(θ) = H(θ) - G(θ) 则f是θ的连续函数,且 f(0)=H(0)>0 将方凳旋转 90°,则由对称性知H(π/2)=0, G(π/2)=H(0) 从而 f(π/2)= -H(0) < 0

由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使 f(θ) = 0

3、某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性。

根据题意可知：下一年病人数==当年患者数的一半+新患者.于是令Xn为从2000年起计算的n年后患者的人数，可得到递推关系模型：

Xn?1?0.5Xn?1000

由X0?1200,可以算出2005年时的患者数X5?1975人. 递推计算的结果有， Xn?11x?2000(1?). 02n2n容易看出，Xn是单调递增的正值数列，且Xn?2000,故结论正确.

4、某人身高2米，以5/3米/秒的速度向一高7米之街灯走去，请问：（1）此人

身影的头顶以多少速度在移动？（2）此人身影长度的变化率为多少？

解：在时间t秒时，设此人离街灯底部为x米，此人身影头顶离街灯底部为y米，由相似三

7m 2m xm ym

角形定理，

yy?xdydx??7，但， 或5y?7x，将上式左右两边分别对t求导：572dtdtdx51dy7dx7?5?7??，故???????，此人身影的头顶移动速率为2米/秒。 dt33dt5dt5?3?3设l?y?x为身影的长，则米/秒。

dldydx7522???????，此人身影长度的变化率为?dtdtdt33335、一个半球面形的碗，半径为a厘米，正以每分钟5?a立方厘米的稳定流量注

1入水。当水的深度已达a厘米时，试求水面上升的速率为多少？

312解：设水深达h厘米时其体积为V立方厘米，则V??h(3a?h)，故

33dV1dh3??(6ah?3h2)??dh3dV?(6ah?3h2)，但

dV?5?a3dt，所以

1dhdhdhdV33h?a?9a，即水面高度以每分钟9a厘??5?a，当时，

3dtdtdVdt?(6ah?3h2)米的速率上升

6、早晨开始下雪整天稳降不停。正午12点一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积是常数。到下午2点的时候扫清了两英里路，到下午4点又扫清了1英里路，问降雪是什么时候开始的？

解：设雪从时刻t0开始下，正午记为ta。雪量为S（m/h），铲雪速度为R（m/h），街

3

区长为定值L（m），宽为W（m）。则时刻t地面上雪的厚度为S(t?t0)，清扫雪时的速度为

v?tt?t0RR。在t时刻清扫的路长为l(t)??vdt?ln(t?ta)。由题可知，

taS(t?t0)WSWta?t0t?2?t0t?4?t0RRlna?2L与lna?3L，比较得ta?t0?5?1 SWta?t0SWta?t0

7、若要火箭飞离地球引力范围，火箭的初速度应为多少？

Mm解：地球对火箭的引力为F?k2，其中r为地球中心到火箭的距离，M为地球的质

r量，m为火箭的质量，k为引力常数。假设火箭在地面上，即r?R，地球对火箭的引力为

kMR2gR2gmMR??F?m2?mg，其中g为重力加速度，由此得k?，故F? ?mg??。

RMMr2r??2