内容发布更新时间 : 2025/1/9 16:39:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算12
其体积V的近似公式V≈Lh.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取
3622
为3.那么，近似公式V≈Lh相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
75
D. 355 113
111?L?2
解析：由题意可知：L＝2πr，即r＝，圆锥体积V＝Sh＝πrh＝π·??
2π333?2π?
L2
h＝
1221225
Lh≈L2h，故≈，π≈，故选B. 12π7512π758
【答案】B
2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）
1π1πA． B． C． D．
4824【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1
π则正方形的面积为2?2?4，圆的面积为π?12?π，图中黑色部分的概率为
2π则此点取自黑色部分的概率为2?π
48故选B
【答案】B
4.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，
作EF⊥PB交PB于点F，连接DE、DF、BD、BE.
(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；
πDC(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值.
3BC解析：法一 (1)证明 因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC， 由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D， 所以BC⊥平面PCD.而DE?平面PCD，所以BC⊥DE. 又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC. 而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC， 所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB. (2)解 如图，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.由(1)知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG，而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD. 故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角， 设PD＝DC＝1，BC＝λ，有BD＝1＋λ2， 在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPF＝∠FDB＝则tan
π
， 3
πBD＝tan∠DPF＝＝1＋λ2＝3，解得λ＝2. 3PDDC12
所以＝＝.
BCλ2
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
πDC2时，＝. 3BC2
法二 (1)证明 如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设PD＝DC＝1，BC＝λ，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，→
B(λ，1，0)，C(0，1，0)，PB＝(λ，1，－1)，点E是PC的中点，所以E?0，，?，11??→
DE＝?0，，?，
22??
?
?
121?2?
→→
于是PB·DE＝0，即PB⊥DE.
又已知EF⊥PB，而DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF. 因→PC＝(0，1，－1)，→DE·→PC＝0，则DE⊥PC， 所以DE⊥平面PBC.
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB. (2)解 由PD⊥平面ABCD，所以→DP＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量； →
由(1)知，PB⊥平面DEF，所以BP＝(－λ，－1，1)是平面DEF的一个法向量. 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
π， 3
→→??1?1BP·DPπ????＝， 则cos ＝?2
?＝?→→3λ＋2??2?|BP|·|DP|?解得λ＝2.所以
DC12＝＝. BCλ2
πDC2时，＝. 3BC2
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
5.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题，“今有菱草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子(每层三角形边菱草束数，等价于层数)几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层三束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数)，则本问题中三角垛底层菱草总束数为________.
解析：由题意，第n层菱草数为1＋2＋…＋n＝∴1＋3＋6＋…＋
n（n＋1）
2
，
n（n＋1）
2
＝680，
11?1?1
n（n＋1）（2n＋1）＋n（n＋1）?＝n(n＋1)(n＋2)＝680， 即为?
22?6?6即有n(n＋1)(n＋2)＝15×16×17，