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求简单递推数列的通项公式的有效方法

作者：马恩荣

来源：《中学教学参考·理科版》2012年第03期

简单递推数列的通项公式的求解是近几年的高考数学热点问题, 解答这类问题的方法很多，最基本的策略是通过对该数列的递推公式的变形，构造一个能求其通项公式的新数列. 本文旨在向读者介绍求解几种简单递推数列通项公式的有效方法 类型一、“逐差”型 【例1】 在数列 分析：注意到数列 解：由 当n≥2时， ＝ =3- ∵

-

---

的数列，如果数列{f(n)}的前n项和可求，则

----

-

-中，已知---

--求

是等比数列，所以用“逐差叠加”法可求，得

---

满足上式，∴

小结: 对于递推关系为用“逐差叠加”法求 类型二、“逐比”型 【例2】 在数列

中，已知

，此法源自课本中求等差数列的通项公式的方法

∈

求

分析：注意到递推公式可变形为“逐商叠乘”求得，所以用“逐商叠乘”法可求 解：由

，可得

∈N

，而数列{n+1n}的前n项的积通过

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当n≥2时， ∵

满足上式，∴

的数列，如果数列{f(n)}的前n项积可求，则

--1=n

小结: 对于递推关系为用“逐商叠乘”法求 类型三、“差比”型

（Ⅰ）若f(n)＝d（其中d为常数），则 ①当q=1时， ②当d=0时， ③当q≠0，1,d≠0,且

-1}的通项即可

【例3】 已知数列

满足-，，-1≠0时，

，此法源自课本中求等比数列的通项公式的方法

为等差数列； 为等比数列；

-

-1)，转化为求等比数列

且关于x的方程有两个相等的实数根,求

-

分析：由题设知 整理得 解：由题设知

将上式变形，得 于是数列 ∴

-2=(--2}是首项

----，且

-，

问题转化为类型三（Ⅰ）第③种情形-，整理得

-2),

-2=-1，公比为12的等比数列

-，即

-

-

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小结：

型递推数列是最常见的一种，它的求法也有很多种，“构

造法”（或待定系数法）是最自然、最简单的一种方法 （Ⅱ）若f(n)≠常数，通常用“构造法”求 【例4】 在数列

中，已知

，求

分析：注意到数列{2n+1}是等差数列，所以可以用待定系数法求 解： 设 由于 解得 ∴ 故数列∴ 即

-为等比数列,且首项为- -2n-3(n∈

，公比q=2，

，所以令

，整理得-A+B=1,

-A+B，

小结：当{f（n）}为等差数列时，用待定系数法构造一个新的等比数列，求出为有效的方法

中，已知

- -求

是较

【例5】 在数列

分析：希望通过变形，构造一个可以求出其通项的新数列 解法1：在递推公式两边同除以(--3 ， 令列

-，则上式可化为

--15-310(-，得

-

，且-∈

-12， 数

即为“逐差”型，用“逐差累加”法可求得