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2012复旦大学插班生高等数学模拟试题(附详解)

1. (10分) 求下列极限

1xsint11（1）lim(5?0dt?4?)； 2x?0xtx18x?2?n???sin()sin()sin()??n?n??n（2） lim?n??n?1n?12n?1n?????. ???sint1t3t5t2t45?（t???o(t))?1???o(t4) 解：（1）因为tt3!5!3!5!1xt2t4114??o(t)]dt?4?) 原式?lim(5?0[1?2x?0x3!5!x18x1x3x51115?lim[(x???o(x))??]?。 542x?0x3?3!5?5!x18x600??

k?k?k?)sin()sin()nnnn?n?n （2） ???k?1k?1n?1kk?1n?1nk?sin()nn?1sin?xdx?2, 而 lim??0n??k?1n?k?k?sin()sin()nnn21nn lim?lim?lim?sin?xdx????0n??k?1n??n??k?1n?1n?1n??2?n???sin(sin()??sin()sin()n?n??n??2。 所以lim?n??n?1n?12n?1n???????2.（10分）设函数f(x)在[a,b]上连续，如果存在数列xn?[a,b]，使得

limf(xn)?A，求证：存在x0?[a,b]，使得f(x0)?A。

n??证：由连续函数的最值性知，存在t1,t2?[a,b]，使得

x?[a,b]min{f(x)}?f(t1)?f(xn)?f(t2)?max{f(x)}

x?[a,b]因为limf(xn)?A，在上式中，令n??，得f(t1)?A?f(t2)，由连续函数的

n??介值性知，存在x0?[a,b]，使得f(x0)?A。

13.（10分）设f(x)在[0,]上二阶可导,且f(0)?f?(0),f()?0，求证：

212?至少存在一点??(0,1)，使得f??(?)?3f(?)。

21?2?解1：作辅助函数?(x)?f?(x)(1?2x)?f(x),显然?(1)?0,?(0)?0，

2由罗尔定理，存在??(0,)，使得??(?)?0，由于

12??(x)?f??(x)(1?2x)?3f?(x)，即??(?)?f??(?)(1?2?)?3f?(?)?0

从而f??(?)?3f?(?)。

1?2?解2：作辅助函数?(x)?f?(x)(1?2x),显然?(1)?0,?(0)?f?(0)?f(0)，

322由拉格朗日中值定理得f()?f(0)?f?(c)1211,c?(0,)，即得22f?(c)??2f(0)，由此得

?(0)?(c)?f(0)f?(c)(1?2c)32??2f2(0)(1?2c)32?0，

由零点定理知，存在d?(0,c)?(0,)，使得?(d)?0，再在(d,)上对?(x)1212应用罗尔定理，存在??(d,)?(0,)，使得??(?)?0，即

1212???(?)?f??(?)(1?2?)?3f?(?)(1?2?)?0

3212故 f??(?)?3f?(?)。

1?2?4、（10分）设函数f(x)在[a，b]上可导，证明：（1）若f?(a)f?(b)?0，则至少

存在一点??(a,b)，使得f?(?)?0；（2）若f?(x)?0,(x?(a,b))，则f(x)是区

（a，b）间上的单调函数。

证明：（1）由题设f?(a)f?(b)?0，即f??(a)f??(b)?0，不妨设f??(a)?0，f??(b)?0,由定义有

f??(a)?lim?x?af(x)?f(a)?0;x?af??(b)?lim?x?bf(x)?f(b)?0，

x?b由极限的保号性知，存在?1?0,使得?x?内有f(x)?f(a)， （a,a??1）同理，存在?2?0,使得?x?内有f(x)?f(b)。 （b??2,b）可见f(a)与f(b)均不是f(x)的最大值，于是连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最

（a，b）大值点?必在内取到，由费马定理得，在最大值点?处，有f?(?)?0。

（a,b）（2）若f(x)是区间内可导，且f?(x)?0,(x?(a,b))，下证

f?(x)?0,(或f?(x)?0)x?(a,b)

用反证法证。若存在x1,x2?，使得f?(x1)f?(x2)?0,[x1,x2]?[a,b]，由（1）（a,b）中已证结论知，至少存在一点??(x1,x2)?(a,b)，使得f?(?)?0，这与题设条件

f?(x)?0矛盾，故f?(x)?0,(或f?(x)?0)x?(a,b)，因而f(x)是区间（a,b）上

的单调函数。

5. (10分)假设蚊香在坐标原点处点燃一段时间后，点(x,y,z)处的烟气浓度为

u(x,y,z)?e参数方程是什么？ 解：因为u(x,y,z)?e?(x2?y2?z2)4?(x2?y2?z2)4

若蚊子位于点(1,2,4)处，试问它沿着那个方向飞逃比较合理？逃跑的路线轨迹的

在点(1,2,4)处的梯度为2e?9(1,2,1).

根据梯度的定义，负梯度方向是烟气浓度减少最快的方向，所以蚊子将会沿着负梯度方向?(1,2,1)逃跑。

设蚊子逃跑路线为空间曲线?：x?x(t),y?y(t),z?z(t)(t?0),t为参数. 当t?0时，x?1,y?2,z?4。设蚊子沿着负梯度方向逃跑，曲线?上任一点

(x,y,z)处切线的方向向量(dx(t),dy(t),dz(t))应满足

dtdtdtz?(x?y?)dx(t)dy(t)dz(t)z4(,,)??gradu(x,y,z)?e(2x,2y,) dtdtdt2222由此可得

zz?(x?y?)?(x?y?)dx(t)dy(t)dz(t)z?(x?y?z4) 44?2xe,?2ye,?edtdtdt2消去dt得dy?y,dz?z，且满足初始条件 y|x?1?2,z|x?1?4，这是两个可分

dxxdx4x222222222离变量方程，解此方程得 y?2x,z?4x,(x?1) ?x?x此即就是蚊子逃跑路线的参数方程?y?2x,(x?1)。

??z?4x14?6.(10分)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程

142(x2?y2)z?h(t)?，(设长度单位为厘米,时间单位为小时)，已知体积减少的

h(t)速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需要多少小时?

解：设在t时刻时,雪堆体积为V(t),侧面积为S(t),则

V(t)????dv???th(t)02(x2?y2)dz??dxdy 其中 ?t:0?z?h(t)?

h(t)Dz??h(t)?20[h2(t)?h(t)z]dz??1h3(t)Dz:(x2?y2)?[h2(t)?h(t)z]

24S(t)?1(x2?y2)?h2(t)2??1?z?zdxdy?2x2y1(x2?y2)?h2(t)2??16(x2?y2)1?dxdy 2h(t)??d??02?h(t)20t)16r22?h(2132221?2rdr?h(t)?16rrdr??h(t) ?0h(t)h(t)12dV(t)dh(t)1313??0.9S(t)，即??，解之得 h(t)??t?C。 dtdt101013由初始条件h(0)?130，可得h(t)??t?130，令h(t)?0，可得t?100小时，

10由题意知，

故雪堆全部融化需要100小时。 7.(10分)计算圆柱面x2积。

解：将所给圆柱面的方程改写成(x?)2?y2?()2，它的参数方程为

?y2?ax被球面x2?y2?z2?a2截下的那部分的面

a2a2aaaz?z,x??cos?,y?sin?222??[0,2?]，???z???

代入球面方程得到圆柱面与球面的交线方程

?a222?z?(1?cos?)?asin，即z??asin 2222由对称性，所求的面积A?2?zds，其中

CC:x?2aaa?cos?,y?sin?2222??[0,2?]

a2a22a2ds?x??y?d??cos??sin?d??d?

442A?2?zds?2?0asinC2??a?d??4a2 22所以所求的面积为A?4a2. 8. (10分)计算I其中?是z?c解：记?1???(x?a)yzdxdy?x2dydz?y2dzdx，

??R2?(x?a)2?(y?b)2的上侧。

:(x?a)2?(y?b)2?R2,z?c，取下侧，则

?与?1构成了外侧的封闭的半球面，由高斯公式

I?(????????)x2dydz?y2dzdx?(x?a)yzdxdy

??1?1?(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2?R2z?c22[2x?2y?y(x?a)]dxdydz?xdydz?ydzdx?(x?a)yzdxdy ??????1对第一项的三重积分作平移变换：u?x?a,v?y?b,w?z?c，把原点平移