内容发布更新时间 : 2024/5/18 5:35:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

导数题型分类解析（中等难度）

一、变化率与导数

函数y?f(x0)在x0到x0+?x之间的平均变化率，即f'(x0)=lim函数y?f(x0)在x0点的斜率。注意增量的意义。

例1：若函数y?f(x)在区间(a,b)内可导，且x0?(a,b)则limh?0?x?0

f(x0?Δx)?f(x0)?y=lim，表示?x?x?0Δxf(x0?h)?f(x0?h) 的值为（ ）

hA．f'(x0) B．2f'(x0) C．?2f'(x0) D．0 例2：若f'(x0)??3，则limf(x0?h)?f(x0?3h)?（ ）

h?0hA.?3 B．?6 C．?9 D．?12

f(x0?h2)?f(x0)例3：求lim

h?0h二、“隐函数”的求值

将f'(x0)当作一个常数对f(x0)进行求导，代入x0进行求值。 例1：已知f?x??x2?3xf??2?，则f??2?? 例2：已知函数f?x??f?????????cosx?sinx，则f??的值为 . ?4??4?2例3：已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x?8x?8，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程

为（ ）

A. y?2x?1 B. y?x C. y?3x?2 D. y??2x?3

三、导数的物理应用

如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s′（t）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。

例1：一个物体的运动方程为s?1?t?t其中s的单位是米，t的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。 例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ）

s s s s 2O A．

四、基本导数的求导公式

t O B．

t O C．

t O D．

t

①C??0;（C为常数） ②xn????nxn?1; ③(sinx)??cosx; ④(cosx)???sinx;

11; ⑧?logax???logae. xxxxxx⑤(e)??e; ⑥(a)??alna; ⑦?lnx???例1：下列求导运算正确的是 ( )

??1?11??x??3xlog3e D． x2cosx??2xsinx A．?x???1?2 B．?log2x??= C．3x?xln2x?????例2：若f0?x??sinx,f1?x??f0?x?,f2?x??f1?x?,??，fn?1?x??fn?x?,n?N，则f2005?x??

五、导数的运算法则

常数乘积：(Cu)'?Cu'. 和差：(u?v)'?u'?v'.

????uu'v?uv'??乘积：(uv)'?u'v?uv'. 除法：??? 2vv??例1：（1）函数y?x3?log2x的导数是 （2）函数xe六、复合函数的求导

n2x?1的导数是 f?[?(x)]?f?(?)*??(x)，从最外层的函数开始依次求导。

3例1：（1）y?(1?cos2x) （2）y?sin21 x七、切线问题 （曲线上的点求斜率）

例1：曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A．30° B．45° C．60° D．120°

例：对正整数n,设曲线y?xn?1?x?在x?2处的切线与y轴的交点的纵坐标为an,则?a?数列?n?的前n项和为Sn?_________.?n?1?（曲线外的点求斜率）

例1：已知曲线y?x，则过点P(1,?3)，且与曲线相切的直线方程为 . 例2：求过点（-1，-2）且与曲线y?2x?x相切的直线方程. （切线与直线的位置关系）

3例1：曲线f(x)=x+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（ ）

32

A．(1,0) B．(2,8) C．(1,0)和(?1,?4) D．(2,8)和(?1,?4) 例2：若曲线y?x的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）

A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0 八、函数的单调性 （无参函数的单调性） 例1：证明：函数f(x)?（带参函数的单调性）

2?单调性； 例1：已知函数f(x)?lnx?ax?(2?a)x，讨论f(x)的

4lnx在区间（0，2）上是单调递增函数. xlxx例2：已知函数f(x)?x?ax?b(a,b?R)，讨论f(x)的单调性；

32例3：已知f?x??lnx?ax，讨论y?f?x?的单调性.

九、结合函数单调性和极值求参数范围

例1：已知函数f(x)?3x3?2x2?1在区间?m,0?上是减函数，则m的取值范围是 . 例2：已知函数f?x??范围 .

例3：已知函数f?x??x3?ax2?x?1?a?R?，若函数f?x?在区间??围 . 例4：已知函数f(x)?围 .

例5：已知函数f(x)?x?ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 . 3m3x?x2?x?m?R?，函数f?x?在区间?2,???内存在单调递增区间，则m的取值3?21?,??内单调递减，则a的取值范33??131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0).若f(x)在[0，1]上单调递增，则a的取值范322在?1,???上是单调函数，求实数a的取值范围 x1?1?n?0?在区间?，例7：如果函数f?x???m?2?x2??n?8?x?1?m?0，2?单调递减，则mn的最大值为

22??2例6：已知函数f?x??x?alnx，若g?x??f?x??（ ）

（A）16 （B）18 （C）25 （D）十、函数的极值与最值 （无参函数的极值与最值）

例1：函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值. （1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值. （含参函数的极值与最值） 例1：已知函数f(x)=xe2?ax81 223(a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.

例2：已知f?x??lnx?ax，求函数在［1，2］上的最大值.

十一、函数图像

/f例1：f（x）的导函数 (x)的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）

（A） （B） （C） （D）