内容发布更新时间 : 2025/1/7 7:06:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
本章复习
整体设计
教材分析
本章是数学《必修4》“平面向量”在空间的推广，又是数学《必修2》“立体几何初步”的延续，应当注重学生应用能力的养成．
空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量是我们所学的平面向量的延伸，平面向量可以解决平面几何的主要问题，从而空间向量就一定可以解决立体几何的主要问题，即以几何体为载体，以空间向量为工具，通过平行与垂直，来解决空间中的位置关系与度量关系．空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性问题提供了简便、快速的解法，它的实用性是其他方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题．
课时分配 2课时
第1课时
教学目标 知识目标
了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，掌握坐标表示，掌握空间向量的加法、减法、数乘、数量积运算及其坐标表示，并掌握其简单应用．
能力目标
再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想，进一步体会类比、猜想、归纳、推广等数学思想，培养学生的空间想象能力、几何直观能力和解决实际问题的能力，培养学生的抽象概括能力．
情感目标
思考、探究的多次出现，引导学生自己发现问题、提出问题，主动思维，理解和掌握数学基础知识，体会到探索的快乐，增加同学们学习数学的兴趣．
重点难点
教学重点：空间向量的概念及其运算、空间向量基本定理． 教学难点：空间向量基本定理及空间坐标系的建立． 教学过程 形成网络 【本章知识脉络】 1．空间向量的概念 在空间，具有______________和______________的量叫做向量；长度相等且方向相同的向量叫做______________，长度相等且方向相反的向量叫做_______________．
2．向量运算和运算率
→→
(1)加法：a＋b＝OA＋AB＝______________. →→
(2)减法：a－b＝OA－OB＝________________. (3)数乘分配率：λa＋λb＝________________.
(4)数量积：
→→→→
①〈OA，－OB〉＋〈OA，OB〉＝__________；②a·b＝____________；③性质与运算率： ?1?a·e＝|a|cos〈a，e〉；?1?(λa)·b＝λ(a·b)；?2?a⊥ba·b＝0； ?2?a·b＝b·a；
2
?3?|a|＝a·a.?3?a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．定理体系及坐标体系的建立
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线__________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a(a≠0)、b，a∥b________________．
→→→
(3)推论：P，A，B三点共线OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)．
(4)把平行于同一平面的向量叫做____________．
(5)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与a、b共面____________． →→→→
(6)推论：四点P，A，B，C共面OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)
(7)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.
其中，a，b，c是空间的一组基向量________________．
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、→→→→
y、z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC.
(8)当三个向量i，j，k是三个互相垂直的单位向量时，若a＝xi＋yj＋zk，则a的坐标表示是a＝(x，y，z)．
(9)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a＋b＝________，
a－b＝______________，λa＝______________，a·b＝____________. 答案：1.大小 方向 相等向量 相反向量
→→
2.OB BA λ(a＋b) π |a||b|cos〈a，b〉
3．互相平行或重合 b＝λa(λ唯一) 共面向量 p＝xa＋yb
三个向量a、b、c不共面 (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (x1－x2，y1－y2，z1－z2) (λx1，λy1，λz1) x1x2＋y1y2＋z1z2 【解题方法、数学思想】
空间向量的概念及其运算与平面向量类似，平面向量加减法的平行四边形法则、三角形法则及其相关的运算律在空间仍然成立，其中定理体系与坐标系的引入都是平面向量在空间的推广，空间向量解决问题的方法都是平面向量由二维到三维的推广．所以类比的思想方法，在这里体现得淋漓尽致．
【活动设计】教师可以让学生填空，然后贯通其脉络． 典型示例
类型一：空间向量的概念及性质
1有以下命题：①如果向量a，b与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么a，
b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，
→→→
那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．其中正确的命题是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 思路分析：掌握空间向量定理的基本知识，是解决此题的关键．
解：对于①“如果向量a，b与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系一定是共线”；所以①错误．②③正确．
点评：该题通过命题的形式给出了空间向量能成为一组基底的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系．
巩固练习
下列命题正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb
答案：A中向量b为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证b不为零向量．零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处．像零向量与任何向量共线等性质要兼顾．零向量的方向是任意的，所以答案选C.
类型二：空间向量的基本运算
→→→
2如图：在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1
→→
＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
11
A．－a＋b＋c
2211
B.a＋b＋c 2211
C．－a－b＋c
2211
D.a－b＋c 22
思路分析：运用空间向量的基本运算即可解决此题，此题的实质是空间向量的分解． 11→→→1→→→
解析：显然BM＝BB1＋B1M＝(AD－AB)＋AA1＝－a＋b＋c，答案为A.
222
点评：类比平面向量表达平面位置关系的过程，掌握好空间向量的用途．用向量的方法
处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等与向量的加法，考查了学生的空间想象能力．
巩固练习