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全国2012年4月高等教育自学考试

a111.设行列式

a12a22a32a13a23a33B.-6

=2,则

?a11?a21?a312a122a222a32?3a13?3a23?3a33C.6

D.12

=( )

a21a31A.-12

?120???2.设矩阵A=120,则A*中位于第1行第2列的元素是(

???003???A.-6

B.-3

C.3

)

D.6

3.设A为3阶矩阵，且|A|=3，则A.?3

B.?(?A)?1=( )

C.

1 31 3D.3

4.已知4?3矩阵A的列向量组线性无关，则AT的秩等于( ) A.1

B.2

C.3

D.4

?100???5.设A为3阶矩阵,P =210,则用P左乘A，相当于将A ( )

???001???A.第1行的2倍加到第2行 B.第1列的2倍加到第2列 C.第2行的2倍加到第1行 D.第2列的2倍加到第1列

?0?x1?2x2?3x36.齐次线性方程组?的基础解系所含解向量的个数为( )

?x+x?x= 0234?A.1

B.2

C.3

D.4

7.设4阶矩阵A的秩为3，?1，?2为非齐次线性方程组Ax =b的两个不同的解，c为任意常数，则该方程组的通解为( ) A.?1?c?1??22 B.

?1??223 5?c?1 C.?1?c?1??22 D.

?1??225 3?c?1

8.设A是n阶方阵，且|5A+3E|=0，则A必有一个特征值为( ) A.?5 3B.?C.

3 5D.

??100????109.若矩阵A与对角矩阵D=0相似，则A3=( )

???001???A.E 10.二次型f

B.D

C.A

D.-E

22?x3(x1,x2,x3)=3x12?2x2是( )

1

A.正定的

B.负定的

C.半正定的

D.不定的

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

111.行列式

1416=____________.

241636?001??100?????12.设3阶矩阵A的秩为2，矩阵P =010，Q =010，若矩阵B=QAP ,

?????100??101?????则r(B)=_____________.

?1?4??48?13.设矩阵A=??，B=??，则AB=_______________.

?1412????14.向量组?1=(1,1,1,1),?2=(1,2,3,4),?3=(0,1,2,3)的秩为______________. 15.设?1,?2是5元齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则r(A)=______________.

?10002???16.非齐次线性方程组Ax =b的增广矩阵经初等行变换化为01002，

???0012-2???则方程组的通解是__________________________________.

17.设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，则|A|=___________.

18.设A为3阶矩阵，且|A|=6，若A的一个特征值为2，则A*必有一个特征值为_________. 19.二次型f(x1,x2,x3)=x1222?x2?3x3的正惯性指数为_________.

22?2x2?2x3?4x2x3经正交变换可化为标准形______________.

20.二次型f(x1,x2,x3)=x12三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

321.计算行列式D =

5?13022?314

?45120?3?1?30???1022.设A=2??，矩阵X满足关系式A+X=XA,求X. ?002???23.设?，?，?2，?3，?4均为4维列向量，A=（?，?2，?3，?4）和B=（?，?2，?3，?4）为

4阶方阵.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.

2

24.已知向量组?1=(1,2,?1,1)T,?2=(2,0,t,0)T,?3=(0,?4,5,?2)T,?4=(3,?2,t+4,-1)T（其中t为参数），求向

量组的秩和一个极大无关组.

?x1?x2?2x3?x4?3?25.求线性方程组?x1?2x2?x3?x4?2的通解..

?2x?x?5x?4x?734?12（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）

26.已知向量?1=(1,1,1)T，求向量?2，?3,使?1，?2，?3两两正交.

四、证明题（本题6分）

27.设A为m?n实矩阵，ATA为正定矩阵.证明：线性方程组Ax=0只有零解.

全国2012年1月自考

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a11a12a13a23=2，则a333a11?a31a21?a313a12?a32a22?a323a13?a33a23?a331．设行列式a21a22a31a32A．-6 C．3

=（ ）

B．-3 D．6

2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（ ） A．E+A C．E+A

-1

B．E-A D．E-A

-1

3．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） ??A?A．?可逆，且其逆为?-1?B???B??A?C．??可逆，且其逆为?-1B???A?A?A-1?? B．??不可逆

B????A-1?A?B-1?? D．??可逆，且其逆为?B????? -1?B?4．设?1，?2，…，?k是n维列向量，则?1，?2，…，?k线性无关的充分必要条件是

（ ）

A．向量组?1，?2，…，?k中任意两个向量线性无关

3

B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l1?1+l2?2+…+lk?k≠0 C．向量组?1，?2，…，?k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D．向量组?1，?2，…，?k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2????(1,?2,?2,?1)T,3??2??(1,?4,?3,0)T,则???=（ ） A．（0，-2，-1，1） C．（1，-1，-2，0）

TTB．（-2，0，-1，1） D．（2，-6，-5，-1）

TT6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（ ） A．1 C．3

B．2 D．4

7．设?是非齐次线性方程组Ax=b的解，?是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

（ ）

A．?+?是Ax=0的解 C．?-?是Ax=b的解

B．?+?是Ax=b的解 D．?-?是Ax=0的解

11-1

8．设三阶方阵A的特征值分别为,,3，则A的特征值为（ ）

241A．2,4,

3111B．,,

24311C．,,3

241D．2,4,3

9．设矩阵A=2?1，则与矩阵A相似的矩阵是（ ）

1?12301A．?1 B．1021

?2C．11 D．?21

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵

B．正定矩阵的行列式一定小于零

C．正定矩阵的行列式一定大于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

4

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

3

11．设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det ((AB))=__________．

12?23，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________． 1-1

12．设3阶矩阵A=4t3?1k13．设方阵A满足A=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A=__________．

n14．实向量空间R的维数是__________． 15．设A是m×n矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________．

17．设?是齐次线性方程组Ax=0的解，而?是非齐次线性方程组Ax=b的解，则

A(3??2?)=__________．

18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．

19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________． )20．二次型f(x1,x2,x3?2x?125x?226x?34xx2x2正xx性指数是1?21?x3的2惯3__________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1142?12?614221．计算行列式

?1?1?4121．

222．设矩阵A=35，且矩阵B满足ABA=4A+BA，求矩阵B．

-1-1-1

23．设向量组?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一个极大线性无

关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．

?14324．设三阶矩阵A=?253，求矩阵A的特征值和特征向量．

2?4?2

25．求下列齐次线性方程组的通解．

?x1?x3?5x4?0? ?2x1?x2?3x4?0?x?x?x?2x?0234?12?24?2026．求矩阵A=

3010360?110110的秩．

?12 5