内容发布更新时间 : 2024/7/7 22:19:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
习题9?1
1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ =μ(x, y)的电荷, 且μ(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q.
解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分 . 2. 设, 其中D 又, 其中D
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={(x, y)|?1≤x≤1, ?2≤y≤2};
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={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.
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试利用二重积分的几何意义说明I与I的关系.
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解 I表示由曲面z=(x+y)与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积. I表示由曲面z=(x+y)与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V的体积.
2
1
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显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V是V位于第一卦限中的部分, 故
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V=4V, 即I=4I.
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3. 利用二重积分的定义证明: (1)∫∫ (其中σ为D的面积);
证明 由二重积分的定义可知,
其中Δσ表示第i个小闭区域的面积.
i
此处f(x, y)=1, 因而f(ξ, η)=1, 所以 .
(2)∫∫ (其中k为常数); 证明
.
(3),
其中D=D∪D, D、D为两个无公共内点的闭区域.
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证明 将D和D分别任意分为n和n个小闭区域
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和,
n+n=n, 作和
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. 令各
和
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的直径中最大值分别为λ和λ, 又λ=max(λλ), 则有
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,
即 .
4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小: (1)∫∫与, 其中积分区域D是由x轴, y轴与直线 x+y=1所围成;
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解 区域D为: D={(x, y)|0≤x, 0≤y, x+y≤1}, 因此当(x, y)∈D时, 有(x+y)≤(x+y), 从而 ≤.
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(2)∫∫与其中积分区域D是由圆周(x?2)+(y?1)=2 所围成;
解区域D如图所示, 由于D位于直线x+y=1的上方, 所以当(x, y)∈D时, x+y≥1, 从而(x+y)≥(x+y), 因而 .
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(3)∫∫与其中D是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0);
解 区域D如图所示, 显然当(x, y)∈D时, 1≤x+y≤2, 从而0≤ln(x+y)≤1, 故有
[ln(x+y)]≤ ln(x+y), 因而 .
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(4)∫∫与其中D={(x, y)|3≤x≤5. 0≤y≤1}.
解 区域D如图所示, 显然D位于直线x+y=e的上方, 故当(x, y)∈D时, x+y≥e, 从而 ln(x+y)≥1, 因而 [ln(x+y)]≥ln(x+y),
故 .
5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1), 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤1}; 解 因为在区域D上0≤x≤1, 0≤y≤1, 所以 0≤xy≤1, 0≤x+y≤2, 进一步可得
0≤xy(x+y)≤2, 于是 , 即 .
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(2), 其中D={(x, y)| 0≤x≤π, 0≤y≤π};
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2
解 因为0≤sinx≤1, 0≤siny≤1, 所以0≤sinx siny≤1. 于是可得 , 即 .
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(3), 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤2};
解 因为在区域D上, 0≤x≤1, 0≤y≤2, 所以1≤x+y+1≤4, 于是可得 ,