内容发布更新时间 : 2024/11/15 15:23:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《矩阵与变换》复习

一、温故

1．二阶矩阵与平面向量：

（1）矩阵的概念与表示：矩阵的行、列、元素；零矩阵、单位矩阵；行矩阵、列矩阵． （2）二阶矩阵与平面列向量的乘法：??a11?a21a12?a22???x0??y?＝ ． ?0?（3）二阶矩阵M＝??ab??x??x??T确定的变换M为：??→??＝ ＝ ． ??cd??y??y??2．几种常见的平面变换： 变换 变换 矩阵 3．变换的复合与矩阵的乘法： （1）矩阵的乘法：? 恒等变换 伸压变换 反射变换 旋转变换 投影变换 切变变换 ?a11?a21a12?a22???b11?b?21b12?＝ ． ?b22?4．逆变换与逆矩阵：

（1）逆矩阵的概念：对于二阶矩阵A，B，若有 ，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，A的逆矩阵记为 ． （2）逆矩阵的几何意义： （3）二阶可逆矩阵A＝??ab?的逆矩阵公式： ． ??cd?－

（4）若二阶矩阵A，B可逆，则(AB)1＝ ． 5．特征值与特征向量：

（1）概念：设A为二阶矩阵，若对于实数λ，存在一个非零向量α，使得 ，则称λ是A的一个特征值，α是A的属于特征值λ的一个特征向量． （2）特征多项式：f(λ) ＝ ． （3）特征值与特征向量的求解步骤：

①f(?)?(a??) bc (d??)=0；

(a??)x?by?0②解??(a??)x?by?0； ??cx?(d??)y?0③取x?1或者y?1；

a（4）.M???

b?

??cd?

,如何求Mn?的步骤，?是一个特征向量：

,依此，Mn???n?

M????，?MM??M????M?,

?M2???M???????2?求Mn?的步骤：

①求M????，即M的特征值?和特征向量?；

x?②用特征向量?1,?2线性表示向量?????，即??m?1?n?2,m,n是常数，但一般不是?1,?2；

?y?③代入M??M(m?1?n?2)=mM?1?nM?2,因为M?1??1?1Mn?M?2??2?2，mM?1?nM?2=m?1?1?n?2?2，依此，

=m?1n?1?n?2n?2

二、例题讲解

例1．已知变换T把点(2，1)，(－3，2)分别变换成点(7，0)，(0，－7)，

（1）求变换T对应的矩阵M；（2）求直线l：x＋5y－7＝0在变换T下所得的曲线方程．

??1a?变式1：已知a，b∈R，若M??所对应的变换TM 把直线l：3x ? 2y ? 1变换为自身，?b3??试求a，b的值．

2 0?22变式2：在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x?y?1在矩阵??0 1?对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程.

例2．若曲线y?1cos3x经过伸压变换T作用后变为新的曲线y?cosx，试求变换T对2应的矩阵M? .

2），变式1：在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，0），B（1，1），C（0，M＝?

?10??0?1?N，＝求△ABC在矩阵MN作用下变换所得图形的面积． ????21??10??变式2：若点A(2,2)在矩阵M???sin? co?? 对应变换的作用下得到的点为Bs??(?2,2)，求矩阵M的逆矩阵.

变式3：在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=??cos??sin???k0??01?,N=,????01??10?点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值.