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2020

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

[A级 基础巩固]

一、选择题

1

1．下列各式中，值为的是( )

2A．sin 15°cos 15° C.

tan 22.5°

2

1－tan22.5°

B．cos

2

π2π－sin 1212

1＋cos 30°

D.

2

11

解析：sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；

24cos

2

ππ32π

－sin＝cos ＝； 121262

tan 22.5°11

＝tan 45°＝； 2

1－tan22.5°221＋cos 30°12

＝cos 15°≠. 22答案：C 2.

3－sin 70°

的值是( ) 2

2－cos10°

123A. B. C．2 D. 222

3－sin 70°2（3－cos 20°）解析：原式＝＝＝2.

13－cos 20°2－（1＋cos 20°）2答案：C

3.1－sin 24°等于( ) A.2cos 12°

C．cos 12°－sin 12°

2

B．2cos 12°

D．sin 12°－cos 12°

2

解析：1－sin 24°＝ sin 12°－2sin 12°cos12°＋cos12°＝ （sin 12°－cos 12°）＝

|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°. 答案：C

π?1?4．已知cos?α＋?＝，则sin 2α的值为( ) 4?4?

2

2020

7733A. B．－ C. D．－ 8844π?1?解析：因为cos?α＋?＝，

4?4?

π?π?????所以sin 2α＝－cos?2α＋?＝－cos?2?α＋??＝

2?4?????π?172?1－2cos?α＋?＝1－×2＝.

4?168?答案：A

1?π?2

5．若α∈?0，?，且sin α＋cos 2α＝，则tan α的值等于( )

2?4?A.

23

B. C.2 D.3 23

12

解析：因为sin α＋cos 2α＝，

4

12222

所以sin α＋cos α－sin α＝cos α＝ 41

所以cos α＝±. 2

?π?又α∈?0，?，

2??

13

所以cos α＝，sin α＝.所以tan α＝3.

22答案：D 二、填空题

ππ

6．(2016·四川卷)cos2－sin2＝________．

88πππ2

解析：cos2－sin2＝cos ＝. 8842答案：

2 2

θθ23

7．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．

223θθ23

解析：因为sin ＋cos ＝，

223θθ?4?所以?sin ＋cos ?＝， 22?3?

θθ41

即1＋2sin cos＝，所以sin θ＝，

2233

2

2020

?1?7

所以cos 2θ＝1－2sin θ＝1－2×??＝.

?3?9

2

2

17答案：

39

?π?3

8．已知sin ?－x?＝，则sin 2x的值等于________．

?4?5?π?3?π?解析：法一：因为sin?－x?＝，所以cos ?－2x?＝

?4?5?2?

7?π??3?1－2sin?－x?＝1－2×??＝，

?4??5?25

2

2

?π?7

所以 sin 2x＝cos?－2x?＝.

?2?25

23?π?3

法二：由sin?－x?＝，得(sin x－cos x)＝－，

25?4?532

所以sin x－cos x＝－，两边平方得

518

1－sin 2x＝，

257

所以sin 2x＝.

257

答案：

25三、解答题 9．求证：

1

＝sin 2α.

1α4

－tan α2tan

2

cos2αcos2αcos2α证明：法一：左边＝＝ ααααcos sin cos2－sin2

2222－ααααsin cos sin cos

2222cos2αsin cos

22

cos2αsin cos 22

＝ ααcos αcos2－sin2

22

αααα＝

αα11

＝sin cos cos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．

2224

所以原式成立．