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【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题（180）（无答

案）

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时 间：__________________

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第一试

一、填空题（每小题1. 2014

8分，共64分）

把椅子排成一圈，有个人坐在椅子上，使得再有一人坐入时，

总与原来的个人中的一人坐在相邻的椅子上.则的最小值为.nnn

2.

在中，已知.设为的内心，且.则.?ABCAB?2,AC?3,BC?4O?ABCAO??AB??BC????

3.

已知一个球与棱长为的正四面体的六条棱均相切.则此球的体积

为.a

233f(x)?k(x?x?1)?x(1?x)4. 设函数.若对任何，均有，则的最小值为.

x??0,1?f(x)?0k

5.

在直角坐标平面上，若一个过原点且半径为的圆完全落在区域内，

4y?xr 则的最大值为.r6.

a已知数列满足，且.则与最接近的自然数为.?n?a2014 32an?an?1an?1(n?Z?)a1?27.

已知，且.则的最大值为.x、y、z?R?x?y?z?6x?xy?xyz

8. 将“马”“上”“成”“功”这四个字填在一个的方格表中，每个

小方格内至多填1个字，“马”“上”始终按从左往右的顺序填写，“成”“功”也始终按从左往右的顺序填写，且“马”“上”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列，或者“成”“功”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列.则不同的填法种数为（用数字作答）.

5?5

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二、解答题（共56分）

9.（16分）设.对所有不同的子集，有.证明：.A??a1,a2,,an??Z+B、C?A

?x??xx?Bx?C11??a1a2?1?2an

10.（20分）已知函数与的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的

22f(x)?x?2axg(x)??x?1a 四边形的周长为6.求实数的值.

11.（20分）椭圆与双曲线有公共焦点，与的离心率之差不超过1，且有一条渐近线斜率不小于，与轴正半轴分别交于，且两曲线在第一象限的交点为.问：的面积是否有最大值？若有，求出最大值并给出的方

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