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导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

x

例1已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

11xx0

(1)解 f(x)＝e－ln(x＋m)?f′(x)＝e－?f′(0)＝e－＝0?m＝1，

x＋m0＋m定义域为{x|x>－1}，f′(x)＝e－1exx?x＋1?－1x＋m＝x＋1

，

显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

(2)证明 g(x)＝ex－ln(x＋2)，则g′(x)＝ex－1x＋2

(x>－2)．

h(x)＝g′(x)＝ex－1x1x＋2(x>－2)?h′(x)＝e＋?x＋2?2

>0，

所以h(x)是增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，

又g′(－12)＝1e－13

<0，g′(0)＝1－1

2>0，

2

所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间??1?

?－2，0??

内，

设g′(x)＝0的根为t，则有g′(t)＝et－1t＋2＝0???－12

，

所以，et＝1

t＋2

?t＋2＝e－t，

当x∈(－2，t)时，g′(x)g′(t)＝0，g(x)单调递增；

所以g(x)g(t)＝et＋2)＝1?1＋t?2min＝－ln(tt＋2＋t＝t＋2

>0，

当m≤2时，有ln(x＋m)≤ln(x＋2)，

所以f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)＝g(x)≥g(x)min>0. 例2已知函数f(x)满足f(x)?f'(1)ex?1?f(0)x?12x2（2012全国新课标）

(1)求f(x)的解析式及单调区间；

(2)若f(x)?12x2?ax?b，求(a?1)b的最大值。 （1）f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?12x2?f?(x)?f?(1)ex?1?f(0)?x

令x?1得：f(0)?1

12x g?(x)?e?1?0?y?g(x)在x?R上单调递增

1 得：f(x)的解析式为f(x)?ex?x?x2

2 且单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0)

1（2）f(x)?x2?ax?b?h(x)?ex?(a?1)x?b?0得h?(x)?ex?(a?1)

2 ①当a?1?0时，h?(x)?0?y?h(x)在x?R上单调递增 x???时，h(x)???与h(x)?0矛盾

②当a?1?0时，h?(x)?0?x?ln(a?1),h?(x)?0?x?ln(a?1)

得：f(x)?ex?x?x2?g(x)?f?(x)?ex?1?x

得：当x?ln(a?1)时，h(x)min?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b?0 令F(x)?x2?x2lnx(x?0)；则F?(x)?x(1?2lnx) 当x?e时，F(x)max?

当a?e?1,b?e时，(a?1)b的最大值为 例3已知函数f(x)?alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0。x?1xe2e2（2011全国新课标） （Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)??(lnxk?，求k的取值范围。 x?1xx?1?lnx)1bxx?2y?3?0?解（Ⅰ）f'(x)? 由于直线的斜率为， ?22(x?1)x2?f(1)?1,?b?1,??且过点(1,1)，故?即?a11 解得a?1，b?1。

f'(1)??,?b??,???2?22lnx1?，所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?x?1xlnxk1(k?1)(x2?1) f(x)?(?)?(2lnx?)。

x?1x1?x2x(k?1)(x2?1)?2x(k?1)(x2?1)(x?0)，则h'(x)?考虑函数h(x)?2lnx?。 2xx22k(x?1)?(x?1)(i)设k?0，由h'(x)?知，当x?1时，h'(x)?0，h(x)递减。而h(1)?0 2x1h(x)?0； 故当x?(0,1)时， h(x)?0，可得21?x1当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 21?xlnxk从而当x>0,且x?1时，f（x）-（+）>0，即fx?1x（x）>

lnxk+. x?1x（ii）设0

112

?1当x?（1，）时，（k-1）（x+1）1?k1?k.

'11+2x>0,故h (x）>0,而h（1）=0，故当x?（1，）时，h（x）>0，可得h

1?k1?x2??4?4(k?1)2?0，对称轴x=

（x）<0,与题设矛盾。

2'2x?1?2xh（iii）设k?1.此时，(k?1)(x?1)?2x?0?（x）>0,而h（1）=0，1故当x? （1，+?）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。

1?x2 综合得，k的取值范围为（-?，0]

例4已知函数f(x)＝(x3+3x2+ax+b)e－x. （2009宁夏、海南）

(1)若a＝b＝－3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.

解: (1)当a＝b＝－3时,f(x)＝(x3+3x2－3x－3)e－x,故

f′(x)＝－(x3+3x2－3x－3)e－x +(3x2+6x－3)e－x ＝－e－x (x3－9x)＝－x(x－3)(x+3)e－x.

当x＜－3或0＜x＜3时,f′(x)＞0;当－3＜x＜0或x＞3时,f′(x)＜0. 从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3,+∞)单调减少.

(2)f′(x)＝－(x3+3x2+ax+b)e－x +(3x2+6x+a)e－x＝－e－x［x3+(a－6)x+b－a］. 由条件得f′(2)＝0,即23+2(a－6)+b－a＝0,故b＝4－a.

从而f′(x)＝－e－x［x3+(a－6)x+4－2a］.因为f′(α)＝f′(β)＝0,

所以x3+(a－6)x+4－2a＝(x－2)(x－α)(x－β)＝(x－2)［x2－(α+β)x+αβ］.

将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a－2.

故????(???)2?4???12?4a.又(β－2)(α－2)＜0， 即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a＜－6. 于是β－α＞6. 2. 在解题中常用的有关结论※

(1)曲线y?f(x)在x?x0处的切线的斜率等于f?(x0)，且切线方程为 y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)。 (2)若可导函数y?f(x)在 x?x0 处取得极值，则f?(x0)?0。反之，不成立。 (3)对于可导函数f(x),不等式f?(x)?0的解集决定函数f(x)的递（?0）增（减）区间。 (4)函数f(x)在区间I上递增（减）的充要条件是：?x?If?(x)?0(?0)恒成立（f?(x) 不恒为0）.