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高考《向量》专题复习

1.向量的有关概念：

（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。 （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0. （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。 任意向量的单位化：与AB共线的单位向量是?ABAB.

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。 （5）平行向量又叫共线向量，记作：a∥b.

①向量a(a?0)与b共线，则有且仅有唯一一个实数?，使b??a； ②规定：零向量和任何向量平行；

③两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ④平行向量无传递性！（因为有0)；

⑤相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； （6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；

2.平面向量的坐标表示及其运算：

（1）设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)； （2）设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)；

（3）设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，则AB=(x2?x1,y2?y1)； （4）设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，向量平行a//b?x1y2?x2y1； （5）设两个非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?x1x2?y1y2， 所以a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0； （6）若a?(x,y)，则a?????????????????????????????x2?y2；

（7）定比分点：设点P是直线p1,p2上异于p1,p2的任意一点，若存在一个实数?，使

P1P??PP2，则?叫做点P分有向线段P1P2所成的比，P点叫做有向线段P1P2的以定比为

1所成的比为，则点分有向线段所成的比为. ?的定比分点；当P分有向线段P?PPPP1212?注意：①设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向线段P1P2所成的比为?，则

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?x?????y???x1??x21??， y1??y21??在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些

x1?x2?x???2?点确定对应的定比?.当??1时，就得到线段Py?y2. 1P2的中点公式?y?1??2②?的符号与分点P的位置之间的关系： 当P点在线段P1P2上时???0；

当P点在线段P1P2的延长线上时? ???1； 当P点在线段P1P2的反向延长线上时??1???0；

3.平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量a、b，作OA?a，OB?b，?AOB?????0?????称为向量a、b的夹角。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a、b，它们的夹角为?，我们把数量

?????a?bcos?叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a?b，即a?b?a?bcos?.

?????????零向量与任一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。 （3）b在a上的投影为bcos?，投影是一个实数，不一定大于0. （4）a?b的几何意义：数量积a?b等于a与b在a上的投影的乘积。

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?????（5）向量数量积的应用：设两个非零向量a、b，其夹角为?，则cos????a?b?a?b?，

当a?b?a?b?0时，?为直角；

当a?b?0时，?为锐角或a,b同向；注意：a?b?0是?为锐角的_____________条件； 当a?b?0时，?为钝角或a,b反向；注意：a?b?0是?为钝角的_____________条件； （6）向量三角不等式：a?b?a?b?a?b 当a,b同向?a?b?a?b，a?b?a?b；

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??????当a,b反向?a?b?a?b，a?b?a?b； 当a,b不共线?a?b?a?b?a?b； ????????????

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