高考数学专题复习与策略专题解析几何第讲高考中的圆锥曲线专题限时集训理 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 7:45:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题限时集训(十九) 高考中的圆锥曲线

(建议用时:4 5分钟)

x2y2

1.(2014·江苏高考)如图18-5,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆2+2=

ab1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作

x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.

图18-5

(1)若点C的坐标为??41?3,3???

,且BF2=2,求椭圆的方程; (2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.

[解] 设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为B(0,b),所以BF2=b2

+c2

=a. 又BF2=2,故a=2. 3分

因为点C??4?3,13???

在椭圆上, 161所以992

a2+b2=1,解得b=1.

故所求椭圆的方程为x2

2

2+y=1. 6分

(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上, 所以直线AB的方程为x+ycb=1.

?x2

c+yb=1,x2ac1=a2+c2,

解方程组??22得???xy??2=0,?

?y2=b.

a2

+b2

=1,

????

yc2-a2

1

=ba2+c2

?x所以点A的坐标为??2a2cbc2-a2

?a2+c2,a2+c2???

. 10分

又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为??2a2cba2-c2

?a2+c2,a2+c2???

.

/ 91

1 ba2-c2

-0

a2+c2ba2-c2b因为直线F1C的斜率为2=23,直线AB的斜率为-,且F1C⊥

2ac3ac+cc-c22-

a+cba2-c2?b?22222

AB,所以23·?-?=-1.又b=a-c,整理得a=5c.

3ac+c?c?

152

故e=,因此e=. 16分

55

x2y2

2.(2016·南通二调)如图18-6,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆2+2=1(a>b>0)

ab→→

2

的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点,点P满足OP=2AO.

2

图18-6

(1)若点P的坐标为(2,2),求椭圆的方程;

→→

(2)设过点P的一条直线交椭圆于B,C两点,且BP=mBC,直线OA,OB的斜率之积为-1

,求实数m的值. 2

【导学号:19592055】

→→

[解] (1)因为OP=2AO,而P(2,2), 所以A?-1,-??2?

?. 3分 2?

11

代入椭圆方程,得2+2=1,①

a2b2

又椭圆的离心率为,所以

2由①②,得a=2,b=1, 故椭圆的方程为+y=1. 6分

2(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), →→

因为OP=2AO,所以P(-2x1,-2y1).

2

2

b22

1-2=,② a2

x2

2

2 / 92

→→

因为BP=mBC,所以(-2x1-x2,-2y1-y2)=m(x3-x2,y3-y2),

??-2x1-x2=m即?

?-2y1-y2=m?

x3-x2,

y3-y2,

m-12

x=x-x,??mm于是?m-12

y=y-??mmy,

3

2

1

3

2

1

a2

10分

代入椭圆方程,得4?x1

2

?m-1x2-2x1?2?m-1y2-2y1?2

?m?m?m????m?

b2

=1,

y21?m-1

即2?2+2?+m?ab?m2

2

2

y22?4m-1?x2?x1x2y1y2?·?2+2?=1,③ 14分 ?a2+b2?-2

b?m???ax2y2x2y21122

因为A,B在椭圆上,所以2+2=1,2+2=1.④

abab1y1y21x1x2y1y2

因为直线OA,OB的斜率之积为-,即·=-,结合②知2+2=0. ⑤

2x1x22abm-1

将④⑤代入③,得2+

mm2

4

5

解得m=. 16分

2

2

=1,

3.(2016·江苏高考)如图18-7,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y=2px(p>0).

2

图18-7

(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程; (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p); ②求p的取值范围.

??2

[解] (1)抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为?,0?,3分

?2???由点?,0?在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,

2?2?

即p=4.所以抛物线C的方程为y=8x. 6分

2

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