内容发布更新时间 : 2024/11/15 0:22:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题限时集训(十九) 高考中的圆锥曲线
(建议用时：4 5分钟)
x2y2
1．(2014·江苏高考)如图18－5，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆2＋2＝
ab1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作
x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.
图18－5
(1)若点C的坐标为??41?3，3???
，且BF2＝2，求椭圆的方程； (2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
[解] 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)． (1)因为B(0，b)，所以BF2＝b2
＋c2
＝a. 又BF2＝2，故a＝2. 3分
因为点C??4?3，13???
在椭圆上， 161所以992
a2＋b2＝1，解得b＝1.
故所求椭圆的方程为x2
2
2＋y＝1. 6分
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上， 所以直线AB的方程为x＋ycb＝1.
?x2
c＋yb＝1，x2ac1＝a2＋c2，
解方程组??22得???xy??2＝0，?
?y2＝b.
a2
＋b2
＝1，
????
yc2－a2
1
＝ba2＋c2
，
?x所以点A的坐标为??2a2cbc2－a2
?a2＋c2，a2＋c2???
. 10分
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为??2a2cba2－c2
?a2＋c2，a2＋c2???
.
/ 91
1 ba2－c2
－0
a2＋c2ba2－c2b因为直线F1C的斜率为2＝23，直线AB的斜率为－，且F1C⊥
2ac3ac＋cc－c22－
a＋cba2－c2?b?22222
AB，所以23·?－?＝－1.又b＝a－c，整理得a＝5c.
3ac＋c?c?
152
故e＝，因此e＝. 16分
55
x2y2
2．(2016·南通二调)如图18－6，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)
ab→→
2
的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足OP＝2AO.
2
图18－6
(1)若点P的坐标为(2，2)，求椭圆的方程；
→→
(2)设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且BP＝mBC，直线OA，OB的斜率之积为－1
，求实数m的值． 2
【导学号：19592055】
→→
[解] (1)因为OP＝2AO，而P(2，2)， 所以A?－1，－??2?
?. 3分 2?
11
代入椭圆方程，得2＋2＝1，①
a2b2
又椭圆的离心率为，所以
2由①②，得a＝2，b＝1， 故椭圆的方程为＋y＝1. 6分
2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， →→
因为OP＝2AO，所以P(－2x1，－2y1)．
2
2
b22
1－2＝，② a2
x2
2
2 / 92
→→
因为BP＝mBC，所以(－2x1－x2，－2y1－y2)＝m(x3－x2，y3－y2)，
??－2x1－x2＝m即?
?－2y1－y2＝m?
x3－x2，
y3－y2，
m－12
x＝x－x，??mm于是?m－12
y＝y－??mmy，
3
2
1
3
2
1
a2
10分
代入椭圆方程，得4?x1
2
?m－1x2－2x1?2?m－1y2－2y1?2
?m?m?m????m?
＋
b2
＝1，
y21?m－1
即2?2＋2?＋m?ab?m2
2
2
y22?4m－1?x2?x1x2y1y2?·?2＋2?＝1，③ 14分 ?a2＋b2?－2
b?m???ax2y2x2y21122
因为A，B在椭圆上，所以2＋2＝1，2＋2＝1.④
abab1y1y21x1x2y1y2
因为直线OA，OB的斜率之积为－，即·＝－，结合②知2＋2＝0. ⑤
2x1x22abm－1
将④⑤代入③，得2＋
mm2
4
5
解得m＝. 16分
2
2
＝1，
3．(2016·江苏高考)如图18－7，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y＝2px(p>0)．
2
图18－7
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)； ②求p的取值范围．
??2
[解] (1)抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为?，0?，3分
?2???由点?，0?在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，
2?2?
即p＝4.所以抛物线C的方程为y＝8x. 6分
2
ppp 3 / 93