内容发布更新时间 : 2024/5/17 18:13:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2． 假设群的元a的阶是n，证明ar的阶是

nd证 因为(r,n)?d 所以r?dr1,n?dn1,而 (r1,n1)?1

这里d?(r,n)是r和n的最大公因子

3.假设a生成一个阶n是的循环群G。

证明ar也生成G，假如(r,n)?1(这就是说r和n互素)

证 a生成一个阶n是的循环群G，可得生成元a的阶是n，这样利用上题即得所证， 或者，由于(r,n)?1有sr?tn?1

a?asr?tn?aasrtn?(a) 即a?(a)

??rnr故(a)?(a)r

4 假定G是循环群，并且G与G同态，证明G也是循环群。

证 有2。4。定理1知G也是群，

?设 G 且?(a)?a(?是同态满射)

kb?G则存在b?G使?(b)?b b?a 因而G∽G ????故?(a)?a 即?(b)?a

??kk?k?k因而b?a? 即?=（?）

?? 5．假设G是无限阶的循环群，G是任何循环群，证明G与G同态。 证 ⅰ）设G是无限阶的循环群，

??G?(a) G?(a) 令?(a)?a

???且?(a?a)?a??k1?s??s???s???aa??(a)?(a)

??s?所以G∽G

ⅱ）设G?(a)而a的阶是n。 令?：ah1?a 当且只当h1?nq1?k1,

?0?k1?n易 知?是G到G的一个满射

ah2?k1?a

?kh2?nq2?k 0?k2?n

?q?k?q?k1?k2?k1?k2设k1?k2?nq?k则h1?h2?n(q1q2)?k1?k2?n(q1?q2?q)?k 那么 aah1h2?aa?a??a?aa

?G∽G

8 子群

1．找出S3的所有子群

证S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}的子群一定包含单位元(1)。 ⅰ）S3本身及只有单位元(1)都是子群

ⅱ）包含(1)和一个2一循环的集合一定是子群因(1)(ij)?(ij),(ij)?(1)

H2={(1),(12)}，H3 ={(1),(13)}， H4={(1),(23)}亦为三个子群

2ⅲ）包含(1)及两个3—循环置换的集合是一个子群

2 (ijk)(ikj)?(1) H5={(1),(123),(132)}是子群，S3有以上6个子群， (ijk)?(ijk)，

今证只有这6个子群，

ⅳ）包含(1)及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因(ij)(ik)?(ijk)不属于此集合 ⅴ)若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群 因(ijk)2?(ikj)

ⅵ)一个集合若出现两个3—循环置换及一个2—循环置换不是子群 因(ij)(ijk)?(ik)

ⅶ）3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群 因若(ij),(ik)出现 则(ij)(ijk0?(jk) 故S3有且只有6个子群。

2.证明；群G的两个子群的交集也是G的子群。

证H1,H2是G的两个子群，H?H?H2

1H显然非空 a,b?H 则a,b?H1 同时a,b?H2

因H1,H2是子群，故ab?1?H1，同时ab?1?H2 所以ab?1?H1?H2?H 故H是G的子群

3．取S3的子集S?{(12),(123)}，S生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不会生成相同的子群？

证 (12)2?(1)?S (123)?(132)?S (12)(123)?(13)?S

(12)(132)?(23)?S 从而 S?S3 群的两个不同的子集会生成相同的子群 S1?{(123)}S1生成的子群为{(1),(123),(132)} S2?{(132)} S2生成的子群为{(1),(123),(132)}

2 4．证明，循环群的子群也是循环群。

证 G=（a）是循环群，H是G的子群 设a?H，而0?h?k时a?H。

m任意b?H 则b?G 因而b?a m?kq?r 0?r?k

kk amm?akq?r?aa

kqkkqr因a?H，akq?(a)所以H?(a)是循环群.

5. 找出模12的剩余类加群的所有子群

证 剩余类加群是循环群故其子群是循环群.

G={[0],[1],?,[11]}

(ⅰ) ([1])?([5])?([7])?([11])?G (ⅱ) H1?([0])

(ⅲ)([2])?([10])即H2?{[0],[2],[4],[6],[8],[10]} (ⅳ) ([3])?(9[]) 即H3?{[0],[3],[6][9]} (ⅴ) ([4])?([8])即H4?{[0],[4],[8]} (ⅵ) ([6]) 即H5?{[0],[6]} 有且只有以上6个 子群.

6.假定H是群G的一个非空子集,并且H的每一个元的阶都有限,证明,H作成子群的充要条件:a,b?H推出ab?H 证 必要性 显然

充分性a,b?H推出ab?H,(*)所以只证a?H推出即可.

a?H,a的阶有限 设为m

am?e 即aam?1?

所以a?1?am?1

由(*) 可知am?1?H,因而a?1?H 这样H作成G的子群.

9 子群的陪群

1. 证明阶是素数的群一定是循环群

证：设群G的阶是素数P,

则可找到a?G而a?e, 则a的阶p, 根据2.9.定理3知np, 但p是素数,故,n?p 那么a,a,a?a

2. 证明阶是p的群(p是素数)一定包含一个阶是p的子群.

m证：设阶是p的群为G, m是正整数, 可取a?G, 而a?e, n根据2.9.定理3, a的阶是p而n?m, 进一步可得apn?1012p?1是G的P个不同元,所以恰是P的不同元,故n?p.

m的阶为p.

?H?(apn?1)是阶为p的G的子群.

3. 假定a和b是一个群G的两个元,并且ab?ba,又假定a的阶是m，

b的阶n是并且(mn)?1.证明:ab的阶是mn

证 ?am?e,bn?e?(ab)mn?amnbmn?e. 设(ab)r?e. 则(ab)mr?abnrmrmr?bnrmrnr?e?nmr,(m,n)?1 ?e?mnr,(m,n)?1

故nr. (ab)?ab故mr又(m,n)?1 ?mnr 因此ab的阶是mn.

4. 假定~是一个群G的元间的一个等价关系,并且对于G的任意三个元a,x,x'来

说,ax~ax'?x~x'证明与G的单位元e等价的元所作成的集合为H 证 由于~是等价关系,故有e~e'即e?H.a,b,?H,则a~e,b~e 因而ae~aa?1,be~bb?1 由题设可得e~a?1,e~b?1 由对称律及推移律得b?1~a?1 再由题设得ab?1~e 即 ab?1?H

这就证明了H是G的一个子群.

5. 我们直接下右陪集Ha的定义如下:Ha刚好包含G的可以写成

ha (h?H)

G的每一个元属于而且只属于一个右陪集

. 证 任取a?G则a?ea?Ha

这就是说,G的每一个元的确属于一个右陪集 若x?Ha,x?Hb则x?h1a,x?h2b. 则h1a?h2b,因而a?h1h2b,b?h2h1a

?ha?hh1h2b,hb?hh2h1a ?Ha?Hb,Hb?Ha故Ha=Hb

这就证明了,G的每一个元只属于一个右陪集.

6. 若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是4的群, 它们都是交换群.

证 设G是阶为4的群.那么G的元的阶只能是1,2,4. 1．若G有一个元的阶为4,则G为循环群;

?1?1?1?1 2. 若G有一个元的阶为2,则除单位元外,其他二元的阶亦均未2. 就同构的观点看阶为4的群,只有两个; 由下表看出这样的群的确

存在. 循环群

0 1 2 3

0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2

非循环群

循环群是交换群，由乘法表看出是交换群

e a b c

e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e

10 不变子群、商群

1. 假定群G的不变子群N的阶是2,证明,G的中心包含N.

证 设N?{e,n}

N是不变子群,对于任意a?G有

ana?N

若 ana ana?1?1?1?e 则an?a ， n?e 矛盾

?n 则an?na 即n是中心元.

又 e是中心元显然. 故G的中心包含N.

2. 证明,两个不变子群的交集还是不变子群令

证 N?N1?N2 ,则N是G的子群.

n?N?n?N1及n?N2，ana?1?N1,ana?1?N2?ana?1?N

故N是不变子群.

3. 证明:指数是2的子群一定是不变子群.

证 设群H的指数是2