内容发布更新时间 : 2024/12/27 13:55:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
则H的右陪集为He,Ha
H的左陪集为eH,aH
He?eH
由 He?Ha?eH?aH 易知Ha?aH 因此不论x是否属于H均有Hx?xH
4. 假定H是G的子群,N是G的不变子群,证明HN是G的子群。 证 任取 h1n1?HN,h2n2?HN
?(h1h2)n1n2?HN,hn?HN?1?1?1?1?1(hn)?nh?Nh?hN (h1n1)(h2n2)?h1(n1h2)n2?h1(h2n3)n3
(hn)?1?hn?HN.
?1'至于HN非空是显然的 !HN是G的子群.
5. 列举证明,G的不变子群N的不变子群1未必是G的不变子群(取G=!) 证 取G?S4
N???1?,?12??34?,?13??24?,?14??23??N1???1?,?14??23??易知N是G的子群,N1是N的子群
我们说,这是因为i是iG的不变子群i??i'i' i'?iN
??i'?112'23'3ii?iii??'44???ii???''12''34123?i1i2i3i4??i4??
'?1此即说明??i1i2??anai3i4??N,a?G,n?N.
因为N是阶为4的群,所以为交换群,故其子群N1是不变子群. 但N1却不是G的不变子群,原因是:
?1?34???14??23???34???13??24??N1
6. 一个群G的可以写成abab!形式的元叫做换位子.证明: i)所有的有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子群; ii)G/C是交换群;
iii)若N是G的一个不变子群,并且G/N是交换群,那么N?C
证 i)e显然是有限个换位子的乘积; e?eeee故e?C
(有限个换位子的乘积)?(有限个换位子的乘积)= 有限个换位子的乘积,故C对G的乘法是闭的.
由于?abab??baba1是换位子,故(有限个换位子的乘积)的逆仍为(有限个
?1?1?1?1?1?1?1??1?1换位子的乘积)即有c?1?C,故C是子群;
c?C,g?C
由gcg即gcg?1?1?C 有gcg??1c?1?c?C
?C 所以C是不变子群.
(ii)x 、y?G c?C
?1?1xyxy?c 就有xy?yxc
故xy?yxC1 因而xyC?yxC
即(xC)(yC)?(yC)(xC) 所以GN是交换子群;
(iii)因G/N是交换子群 就有 (xN)(yN)?(yN)(xN)
(xy)N?(yx)N xy?yxN xy?yxn n?N
因此 x?1y?1xy?N
又由于N是子群,所以N包含有限个换位子的乘积, 即N?C.
11 同态与不变子群
??????1． 我们看一个集合A到集合A的满射?,证明,若S是S的逆象,S一定是S的象;但若
S的S的象,S不一定是S的逆象.
证 ⅰ ) 在?之下的象一定是S;
???若有S的元s在?之下的象s?S,则s有两个不同的象,故矛盾 又S的逆象是S 两者合起来,即得所证
? ⅱ)设 A?{1,2,3,4,5,6,}A?{1,2}
?: 1?1 2?2 3?3
4?2 5?1 6?2 令S?{1,3}
?在?之下S?{1}
?但S的逆象是{1,3,5}
????2. 假定群G与群G同态,N是G的一个不变子群,是N的逆象.证明:
??????证 设?1:x?x是G到G的同态满射;
???N?规定?:x?xN(?(x)?x,?2(x)?xN)
?2:x?xN是G到G????的同态满射.
?则?是G到G?的同态满射.
??????N??事实上,?:y?yN(?1(y)?y,?2(y)?yN)
则?1(x?y)??1(x)??1(y)?x?y
???????????? ?2(x?y)??2(x)??2(y)?xN?yN 故?:x?y?x?N?yN 这就是说,G~G?
N现在证明同态满射?的核是N
?x?N 则?1(x)?x
??????由于N是N的逆象 故 ?1(x)?x 因而?2(x)?xN?N
???另一方面,若 x?N 则x?N (N是N的逆象)
根据2.1 1定理2.
?? GN?GN
??3． 假定G和G是两个有限循环群,它们的阶各是m和n证明G与G同态,当而且只当nm的时候
证 （ⅰ） GN
令N为同态满射的核心,GN的阶一定整除G的阶
?但GN?G
?故 G的阶一定整除G的阶.即nm.
? （ⅱ）nm.?G~G
??设 G?(a),G?(a)
令?:a?a(i?nq?r,0?r?n) 在?下 a?a (i?nq1?r1,0?r1?n) a?a (h?nq2?r2,0?r2?n)
而 r1?r2?nq?r (0?r?n) ?k?h?n(q1?q2)?r1?r2 ?n(q1?q2?q)?r aa?a?khk?hn(q1?q2?q)?ri?rk?r1k?r2?r?r1?r2?r1?r2?a?a?a?aa
即G~G
4． 假定G是一个循环群,N是G的一个子群,.证明,GN也是循环群. 证 设G?(a) b?G则b?am bN?amN?(aN)m
另证 G是循环群,由2.10.习题1知:
G是交换群,又由!.例3知N是G是一个不变子群,由这一节定理1得
G~GN
再由2.7.习题4知GN是循环群.