内容发布更新时间 : 2024/11/8 15:24:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
2.1.2 椭圆的简单性质（一）
[A.基础达标]
1．已知椭圆＋＝1及以下3个函数：①f(x)＝x；②f(x)＝sin x；③f(x)＝cos x，
169
其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积．易知f(x)＝x，f(x)＝sin x为奇函数，f(x)＝cos x为偶函数，故①②满足要求．
x2y24
2．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的两个顶点在直线x＋y＝4上，则此椭圆的焦点坐标
ab3
是( )
A．(±5，0) B．(0，±5) C．(±7，0) D．(0，±7)
422
解析：选C.直线x＋y＝4在坐标轴上的截距为4、3，所以a＝4，b＝3，所以c＝4－3
3＝7，故椭圆的焦点坐标为(±7，0)．
x2
y2
x2y2
3.如图，A、B、C分别为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭
ab圆的离心率为( )
A.C.
－1＋5
22－1
2
B.5－1 D.2－1
解析：选A.因为Rt△AOB∽Rt△BOC，所以＝，即b＝ac， 又b＝a－c，所以a－c＝ac，
22
即c＋ac－a＝0，
2
所以e＋e－1＝0，又e∈(0，1)，
－1＋5
所以e＝.
2
2
2
2
2
2
abbc2
x2y2
4．如图，已知ABCDEF是边长为2的正六边形，A、D为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)长轴的
ab两个端点，BC、EF分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 43
x2
y2
B.＋＝1 34
x2
y2
金戈铁制卷
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
C.＋y＝1 4
x2
2
D.＋y＝1 33
＝3. 2
x2
2
解析：选A.因为a＝|AO|＝2，b＝2×故该椭圆的方程为＋＝1.
43
x2y2
x2y2
5．设AB是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作
abAB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是( )
A．98a B．99a C．100a D．101a
解析：选D.设F2为椭圆的右焦点，|F1Pi|＋|F2Pi|＝2a(i＝1，2，…，99)，P1，P2，…，P99关于y轴成对称分布，
99
? （|F1Pi|＋|F2Pi|）＝2a×99＝198a，
i＝1
199
? | F1Pi|＝2? (|F1Pi|＋|F2Pi|)＝99a. i＝1i＝1
又因为|F1A|＋|F1B|＝2a，
所以|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|＝99a＋2a＝101a.
3
6．已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．
5c3
解析：由题意知，2a＝20，a＝10，e＝＝，
a5
222
所以c＝6，b＝a－c＝64. 故椭圆的标准方程为答案：
＋＝1或＋＝1. 1006410064
99
x2y2y2x2
＋＝1或＋＝1
1006410064
22
7．椭圆(m＋1)x＋my＝1的长轴长是________． 解析：将椭圆化为标准方程为则必有m>0. 因为m＋1>m>0，所以
11<. m＋1m＋＝1， 11m＋1mx2y2y2x2
x2y2
1m2m2
所以a＝，a＝，2a＝.
mmm2m答案：
mx2y2?2?
8．若椭圆＋＝1的离心率e∈?，1?，则实数m的取值范围为________．
4m?2?
?0＜m＜4，
?
解析：当焦点在x轴上时，可得：?2解得m∈(0，2]； 4－m≤＜1，?2?2
金戈铁制卷
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
?m＞4，?
当焦点在y轴上时，可得：?2解得m∈[8，＋∞)， m－4
≤＜1，?m?2
故m∈(0，2]∪[8，＋∞)．
答案：(0，2]∪[8，＋∞)
9．已知椭圆x＋(m＋3)y＝m(m>0)的离心率e＝长、焦点坐标、顶点坐标．
2
2
3
，求m的值及椭圆的长轴和短轴的2
x2y2
解：椭圆方程可化为＋＝1，
mmm＋3
mm（m＋2）
因为m－＝>0，
m＋3m＋3mm2222
所以m>，即a＝m，b＝，c＝a－b＝
m＋3m＋33m＋23
由e＝得 ＝，所以m＝1.
2m＋32
y22
所以椭圆的标准方程为x＋＝1.
14
13
所以a＝1，b＝，c＝.
22
m（m＋2）
.
m＋3
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(－
33
，0)，(，0)；四个22
11
顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，(0，－)，(0，)．
22
10．(1)已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e1
＝.求椭圆E的方程． 2
(2)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
22xy1c1
解：(1)设椭圆E的方程为2＋2＝1(a>b>0)．由e＝，即＝，得aab2a2
2222
＝2c，b＝a－c＝3c，
x2y2
所以椭圆方程可化为2＋2＝1.
4c3c132
将A(2，3)代入上式，得2＋2＝1，解得c＝4， 所以椭圆E的方程为＋＝1.
1612
x2
ccy2
x2y2
(2)设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)．如题图所示，则有F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，
abb2?x2y2b2?b)，B(a，0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程2＋2＝1，得y＝±，所以P?－c，?. a?aba?
又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.
|PF1||AO|b2b所以＝，所以＝，所以b＝2c.
|F1F2||OB|2aca金戈铁制卷
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
c21
所以b＝4c，所以a－c＝4c，所以2＝.
a5
c5
所以e＝＝. a5
2
2
2
2
2
[B.能力提升]
xy→→
1．已知直线x＝t与椭圆＋＝1交于P，Q两点，若点F为该椭圆的左焦点，则使FP·FQ259
取得最小值时，t的值为( )
10050A．－ B．－
171750100C. D. 1717
解析：选B.若P在x轴上方，则P(t，→
所以FP＝(t＋4，＋7，t∈(－5，5)，
5050
其对称轴为t＝－∈(－5，5)，故当t＝－时，
1717
→→
FP·FQ取最小值．
9（1－）)，Q(t，－
25
22
t29（1－）)，
25
t2→
9（1－）)，FQ＝(t＋4，－25
t2→→342
9（1－）)，FP·FQ＝t＋8t2525
t2x2y2
2．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)，B为上顶点，F为左焦点，A为右顶点，且右顶点A到
ab直线FB的距离为2b，则该椭圆的离心率为( )
A.2 2
B．2－2 D.3－2
C.2－1
解析：选C.由题意知，A(a，0)，直线BF的方程为＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，由
－cb|ab＋bc|a＋ccc题意得＝2b，即＝2，1＋＝2，＝2－1，所以e＝2－1.
aaab2＋c2
x2y212
3．设椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，右焦点为F(c，0)，方程ax＋bx－c＝0
ab2
22
的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)与圆x＋y＝2的位置关系是________．
c1abc222
解析：由已知得e＝＝，则c＝.又x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以x1＋x2＝(x1＋x2)
a22aa22222b2cb＋2cab＋a2a22
－2x1x2＝2＋＝＝2＜2＝2，因此点P(x1，x2)必在圆x＋y＝2内． 2
xyaaaa22
答案：点P(x1，x2)在圆x＋y＝2内
x2y2
4．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥xaba→→
轴，直线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率为________．
→→|AO||AP|2a解析：由＝＝＝，得a＝2c.
→→3a＋c|AF||AB|c1故e＝＝.
a21答案： 2
金戈铁制卷
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
x2y23
5．设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)过点A(0，1)，离心率为.
ab2
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P是椭圆上的一点，求|AP|的最大值． 解：(1)因为过点A(0，1)，所以b＝1，
又因为离心率为
3
，所以a＝2，c＝3， 2
所以椭圆C的方程为＋y＝1.
4
(2)设点P(x0，y0)，则满足＋y0＝1，
4
22
得x0＝4(1－y0)，
22222
所以|AP|＝x0＋(y0－1)＝4(1－y0)＋(y0－1)，
121622
整理得|AP|＝－3y0－2y0＋5＝－3(y0＋)＋，
33
14
所以当y0＝－时，|AP|max＝3.
33
6．(选做题)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝120°. (1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
x2
2
x20
2
x2y2
解：(1)设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a. 在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c＝m＋n－2mncos 120°＝(m＋n)－mn＝4a－mn≥4a－(仅当m＝n时取等号)．
c233所以2≥，即e≥.
a42
又0 2 2 2 2 2 2 m＋n2 )＝4a－a＝3a(当且 2222 3 ，1)． 2 (2)证明：由(1)知mn＝4b， 12 所以S△F1PF2＝mnsin 120°＝3b， 2 即△F1PF2的面积只与短轴长有关． 金戈铁制卷