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2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若log2a?0，()?1，则【 D 】 A．a?1,b?0 B．a?1,b?0 C. 0?a?1, b?0 D. 0?a?1, b?0 2．对于非零向量a,b,“a?b?0”是“a//b”的【 A 】 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．将函数y?sinx的图象向左平移?(0???2?)个单位后，得到函数y?sin(x?．．图象，则?等于【 D 】

A．

12b?6)的

?5?7?11? B． C. D. 6666x(x?0) 的

1??x4．如图1，当参数???1,?2时，连续函数y?图像分别对应曲线C1和C2 , 则【 B 】 yc2c1A ．0??1??2 B ．0??2??1

C ．?1??2?0 D ．?2??1?0 5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】 o图1xA． 85 B． 56 C ．49 D ．28 ?x?2y?0,226．已知D是由不等式组?所确定的平面区域，则圆x?y?4在区域D内的弧

?x?3y?0长为【 B 】

A．

??3?3? B． C． D． 42427．正方体ABCD?A1BC11D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为【 C 】

A．2 B．3 C． 4 D．5 8．设函数y?f(x)在(??,??)内有定义.对于给定的正数K，定义函

A1DD1B1CC1?f(x),f(x)?K,?x数fK(x)??取函数f(x)?2?x?e。若对任意的

?K,f(x)?K.x?(??,??)，恒有fK(x)?f(x)，则【 D 】

A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 AB二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的．．．横线上 9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _. 10．在(1?x)3?(1?x)3?(1?3x)3的展开式中，x的系数为__7__(用数字作答). 11．若x?(0,?)，则2tanx?tan(?x)的最小值为 22 . 22?12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60，则

双曲线C的离心率为 6 213．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为

1，则总体中的个体数为 40 。 2814．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则

（1）球心到平面ABC的距离为 12 ；

（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 3 . 15．将正?ABC分割成n(n?2,n?N)个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)?2，f(3)?

2*

101 ，… ，f(n)? (n?1)(n?2) . 36A图2A图3BCBC 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 在?ABC中，已知2AB?AC?3AB?AC?3BC，求角A，B，C的大小 解： 设BC?a,AC?b,AB?c 2由2AB?AC?3AB?AC得2bccosA?3bc，所以cosA?又A?(0,?),因此A?3. 2?62

由3AB?AC?3BC得bc?3a，于是sinC?sinB?3sinA?223. 4所以sinC?sin(1335?3sinC)?，sinC?(cosC?， ?C)?22464in(2C?)0?. 因此2sinC?cosC?23sin2C?3,sin2C?3cos2C?0，既s35???4?，所以??2C??，

66333???2?,从而2C??0,或2C???,，既C?,或C?3363 ?2????2?,C?,或A?,B?,C?故A?,B?。 636663由A???知0?C? 17．（本小题满分12分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的从中任选一个项目参与建设。 111，，.现在3名工人独立地236